Ishorasi almashinuvchi qatorlar

Isboti: Berilgan qatorning juft va toq nomerli hadlarining alohida-alohida xususiy yig`indilarini topamiz. U holda, juft nomerli hadlari yig`indisi S2n=a1- a2+ a3- a4+…+ a2n-1­­- a2n=(a1- a2)+( a3- a4)+…+ (a2n-1- a2n). (5) (2) ketma – ketlik manfiy bo`lmaganligi sababli, S2n ≥ 0 dir. Bundan tashqari, S2n+2= S2n+ (a2n+1- a2n+2) ≥ S2n (6) bo`lganligi uchun n→∞ da S2n kamayuvchi bo`lmaydi.

Isboti: Berilgan qatorning juft va toq nomerli hadlarining alohida-alohida xususiy yig`indilarini topamiz. U holda, juft nomerli hadlari yig`indisi S2n=a1- a2+ a3- a4+…+ a2n-1­­- a2n=(a1- a2)+( a3- a4)+…+ (a2n-1- a2n). (5) (2) ketma – ketlik manfiy bo`lmaganligi sababli, S2n ≥ 0 dir. Bundan tashqari, S2n+2= S2n+ (a2n+1- a2n+2) ≥ S2n (6) bo`lganligi uchun n→∞ da S2n kamayuvchi bo`lmaydi.

S2n xususiy yig`indini quyidagicha ham ifodalash mumkin: S2n=a1-( a2 - a3)-…-( a2n-2 - a2n-1)- a2n (7) Qavslar ichidagi ayirmalar va a2n lar manfiy bo`lmaganliklari sabablis2n≤ a1 .

Demak, juft nomerli hadlarning xususiy yig`indisi kamayuvchi bo`lmaganligi hamda yuqoridan chegaralanganligi uchun u limintga ega, ya`ni:

Qatordagi toq nomerli hadlarning xususiy yig`indisi uchun quyidagi o`rinlidir. s2n+1 = s2n+ a2n+1Bundan, U holda, quyidagi ham o`rinli bo`ladi: sn =s s2n ≥0 bo`lganligi uchun s ≥0, n>1 da s2n ≤ a1-( a2 - a3)=b1 Bundan, 0 ≤ s= s­n ≤ b ≤ a1. Teorema isbot bo`ldi. Misol.qator yaqinlashishini Leybnits alomati yordamida tekshiring. Yechilishi: Berilgan ishorasi almashinuvchi qator kamayuvchidir, ya`ni: n→∞ da an ning limiti nolga intiladi, ya`ni Demak, Leybnits alomatidagi shartlar bajariladi. U holda, berilgan qator yaqinlashuvchi bo`ladi.

Qatordagi toq nomerli hadlarning xususiy yig`indisi uchun quyidagi o`rinlidir. s2n+1 = s2n+ a2n+1Bundan, U holda, quyidagi ham o`rinli bo`ladi: sn =s s2n ≥0 bo`lganligi uchun s ≥0, n>1 da s2n ≤ a1-( a2 - a3)=b1 Bundan, 0 ≤ s= s­n ≤ b ≤ a1. Teorema isbot bo`ldi. Misol.qator yaqinlashishini Leybnits alomati yordamida tekshiring. Yechilishi: Berilgan ishorasi almashinuvchi qator kamayuvchidir, ya`ni: n→∞ da an ning limiti nolga intiladi, ya`ni Demak, Leybnits alomatidagi shartlar bajariladi. U holda, berilgan qator yaqinlashuvchi bo`ladi.