Irratsional funksiyalarni integrallash

Irratsional funksiyalarni integrallash
Agar y=f(x) funksiya x argumentning kasr ko’rsatkichlida rajalari ishtirok etgan algebraic ifodadan iborat bo’lsa, uirratsional funksiya deb ataladi. Masalan:

, , lar irratsional funksiyalardir.

Ha rqan dayirratsional funksiyadan olingan aniqmas integral elementar funksiyalarda ifodalanmasligi mumkin.

dx integral binomial integral deb ataladi. Bu yerdar,s,p-ratsionalvaa,b-haqiqiysonlardaniborat. Agar r,s,psonlarninguchalasi ham butun son bo’sa, unda integral ostidaratsionalfunksiyabo’ladivabuholda, binomial integral elementarfunkisiyalardaifodalanadi. Agar r,s,psonlardankamidabittasibutun son bo’lmasa, u holda integral ostidairratsionalfunksiyahosilbo’ladi. Bunda binomial integral faqatquyidagiuchholdaelementarfunksiyalardaifodalanishimumkin.

1) p –butun son. Bu holda, , almashtirish qilinadi. Bu yerda m integral ostidagi r va s sonlarining umumiy maxraji. Agar , deb olsak, unda = , , bo’ladi va binomial integral

ko’rinishni olib, ratsional funksiyadan olingan integralga keladi.

2) butun son. Bu holda bo’lsa, unda almashtirishdanfoydalaniladi.Bunda (a+bx^s)^p=t^k, x^r= dt bo’lib, binomial integral quyidagi ratsional kasrli integralga keladi:

dt.

1. 
   butun son. Bu holda p= bo’lsa, unda +b= almashtirish qilinadi.
   

Bunda , , ,

2. 
   bo’ladiva binomial integral quyidagiratsionalkasrliintegralgakeladi:
   

Navbatda integralni qaraymiz.Aytaylik, soni kasrlarning umumiy mahraji bo’lsin. , almashtirish qilamiz. U holda, har bir kasr ko’rsatkichli daraja butun ko’rsatkichli darajaga almashadi va natijada, integral ostidagifunksiya t ningratsionalfunksiyasidaniboartbo’ladi. Endi

ko’rinishdagiintegralniqaraymiz. Bu integral

almashtirishbilanratsionalfunksiyaniintegrallashgakeltiriladi. Bu yerda k soni kasrlarning umumiy maxraji.

Ba’zihollarda ko’rinishdagi aniqmas integrallar ham uchraydi.Bunday integrallarEyleralmashtirishlari deb ataluvchiquyidagialmashtirishlaryordamidaratsionalfunksiyaniintegrallashgakeltiriladi.

I. Eylerningbirinchialmashtirishi. Agar bo’lsa,

almashtirish qilamiz. U holda,

+ bo’ladi. Bundan ni ning ratsional funksiyasi sifatida aniqlaymiz.

Bu yerda ham ning ratsional funksiyasidan iborat bo’ladi.Shunday qilib, bo’lib u ning ratsional funksiyasi bo’ladi.

II. Eylerningikkinchialmashtirishi. Agar bo’lsa,

almashtirish qilamiz. (aniqlikuchun oldidagi ishorani olamiz). U holda ( )²=( )², Bundan ni ning quyidagi ratsional funksiyasini aniqlaymiz.

. Shunday qilib, va lar orqali ratsionalifodalanganiuchun x, dx va larning t orqaliifodalariniberilganintegralgaqo’yib t ganisbatanratsionalfunksiyaningintegraligakelamiz.

III. Eylerninguchinchialmashtirishi. Aytaylik va lar uchxadning haqiqiyildizlaribo’lsin.

= deb olamiz. U holda, + +c= (x- )(x- ) bo’lgani uchun = , (x- )(x- ) ²t²,

(x- )= ²bo’ladi.Bundanesa ni hosil qilamiz. x, dx va lar t ning ratsional funksiyasi bo’lganligi uchun, berilgan integral t ning ratsional funksiyasini integralidan iborat bo’ladi.

Ba’zibirirratsionalfunksiyalarnitrigonometrikalmashtirishlaryordamida ham hisoblashmumkin.

integralni qaraymiz. Bu yerda a o va 0 deb olamiz.

Ildizostidagiuchhadningko’rinishinio’zgartiramiz.

=a ²+ , deb olsak, bo’ladi va tenglik hosil bo’ladi. Bu yerda ni va larni qiymatlari turlicha bo’lishi mumkin. Ularningqiymatlarigaqarab, ba’zibirbelgilashlardanso’ngberilgan integral quyidagiintegrallardanbirigakeltiriladi.

I. ,

,

III. .

Bunda I-integral t= tgz almashtirish orqali, II-integral almashtirish orqali, III-integral almashtirish orqali

integralni hisoblashga keltiriladi.