ҚИРҚ олтинчи илмий-амалий конференцияси материаллари

Dirixle masalasi.

sohada (1) tenglamaning ushbu 
;
0
)
(
l
s
s
u
Г




 
)
(
0
,
x
x
u


, 
I
x

, (2) 
shartlarni qanoatlantiruvchi regulyar yechimi 
)
(
)
(
)
,
(
2




C
C
y
x
u
topilsin, bu yerda 
s
-
Г
chiziqning 
𝑀𝐵
yoyi uzunligi, 
l
–butun 
Г
chiziq yoyi uzunligi: 
)
(
s

va 
)
(
x

–
berilgan 
uzluksiz 
funksiyalar, 
shu 
bilan 
birga 
0
),
,
(
,
)
0
(
)
(
),
(
)
(






y
a
a
I
a
l
a




o‘qining intervali. 
Ekstremum prinsipi

sohada (1) tenglamaning 
)
,
(
y
x
u
regulyar yechimi hech 
bir 


)
,
(
y
x
nuqtada o‘zining musbat maksimumiga va manfiy minimumiga 
erishmaydi. 
Isboti.
Ushbu 
 
y
A
y
x
u
y
x
/
)
,
(
)
,
(


(3) 
funksiyani qaraymiz, bu yerda 
,
)
(
0
1
0
1







y
d
e
e
y
A

d
bu 

soha diametri, 
1
0



. Bevosita hisoblashlar yordamida

---

~ 197 ~ 
)
(
)
(
)
(
1

E
y
A
u
E

tenglikni to‘g‘riligiga ishonch hosil qilish qiyin emas, bu yerda 


,
1
2
1
)
(
0
0
1



















yy
y
y
y
yy
xx
m
A
A
y
A
yA
y
y
E
(4) 


,
1
0
0
1
0









y
e
A
y
y




,
1
1
1
0
0
1
0
0
0
2
0
1
2
0


















y
e
y
e
A
y
y
yy


0
1
1
0
2
0
1
2
0
0


















y
e
A
A
A
y
A
y
yy
y
(5) 
(5) tengsizlikka asosan, (4) tenglama yechimi 

)
,
(
y
x

soha ichidagi hech bir 
)
,
(
0
0
y
x
nuqtada o‘zining musbat maksimumiga erishmaydi. Haqiqatdan ham, teskarisini faraz 
qilaylik, 
)
,
(
0
0
y
x
nuqtada 
)
,
(
y
x

funksiya o‘zining musbat maksimumiga erishsin, u 
holda bu nuqtada




,
0
,
,
0
,
0
0
0
0






y
y
x
x
y
x


,
0
)
,
(
2
0
0
2



x
y
x

0
)
,
(
2
0
0
2



y
y
x

bo‘lgani uchun, (4) dan 
0
)
(
1


E
. Bu esa 
0
)
(
1


E
tenglikka ziddir. Aynan shu 
mulohazalarni takrorlab, 
)
,
(
y
x

funksiya 

sohaning hech bir ichki nuqtasida 
o‘zining manfiy minimumiga erishmasligini ko‘rsatish mumkin. 
Shunday qilib, (3) ga asosan, (1) tenglamaning regulyar yechimi
)
,
(
y
x
u
o‘zining musbat maksimumi va manfiy minimumini 

sohaning ichki nuqtalarida 
qabul qilmaydi.
Teorema.

 sohada (1) tenglama uchun qo‘yilgan Dirixle masalasining yechimi 
mavjud bo‘lsa, u yagonadir.
Isboti.
Faraz qilaylik, qo‘yilgan masala ikkita
1
u
va 
2
u
yechimlarga ega bo‘lsin, 
u holda berilgan tenglama va chegaraviy shartlar chiziqli bo‘lgani uchun 
2
1
u
u
w


funksiya (1) tenglamani va bir jinsli
0
)
0
,
(
)
0
,
(
)
0
,
(
;
0
)
(
2
1
2
1








x
u
x
u
x
w
u
u
w
(6) 

---

~ 198 ~ 
shartlarni qanoatlantiradi. Ekstremum prinsipiga ko‘ra, 

sohada uzluksiz 
)
,
(
y
x
w
funksiya o‘zining ekstremumlarini faqat 
AB





da qabul qiladi, ya’ni 
0
)
,
(
max
)
,
(
)
,
(
min
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(












y
x
w
y
x
w
y
x
w
y
x
y
x
y
x
. 
Bundan esa 



)
,
(
,
0
)
,
(
y
x
y
x
w
. Teorema isbot bo‘ldi. 
Foydalanilgan adabiyotlar: 
1.
Салахитдинов М.С., Мирсабуров. Нелокальние задачи для уравнений 
смешанного типа с сингулярными коэффициентами. 2005. “Universitet”. 
“Yangi yo‘l poliyraf servis”-224 c. 
MODULLI TENGSIZLIKLARNI GRAFIK USULIDA YECHISH
 
Tojiyev Shavkat Axmed o‘g‘li
Fizika – matematika fakulteti, matematika yo‘nalishi, 4-kurs talabasi. 
Ilmiy rahbar: Qurbonnazarov Abdimumin Ibraximovich 
(
e-mail
: 
[e-mail]
) 
Modul qatnashgan tengsizliklarni grafik usulda yechish modulli tengsizliklarni 
yechishda muhim rol o‘ynaydi va aniqlikni orttiradi. Biz quyida modul qatnashgan 
tengsizliklarni grafik usulda yechishga oid misollar bilan tanishamiz. 
1-misol
. Ushbu 
9
5
6
2




x
x
x
tengsizlikni grafik usulda yeching. 
Yechish.
Bu yerda 
2
5
9
6
y
x
x
vа y
x



 
funksiyalarni grafiklarini bitta 
koordinata sistemasida chizamiz. 
9
5
2



x
x
y
parabola uchun: 
a) 
bo‘lgani uchun (parabola shohlari yuqoriga qaraydi). 
b) parabola uchi uchun koordinatasini topamiz 
.
75
,
2
4
11
4
36
25
1
4
9
1
4
)
5
(
4
4
,
2
5
1
2
)
5
(
2
2
2
0
0






















a
ac
b
y
a
b
x

---

~ 199 ~ 
c) 
OX
o‘qi bilan kesishish nuqtasini topamiz, ya’ni 
0
9
5
2



x
x
dan 
,
0
11
36
25
1
9
4
)
5
(
2










D
demak, 
OX
o‘qini kesmaydi. 
a)
OY
o‘qi bilan kesishish nuqtasini topamiz, ya’ni 
0

x
da 
9

y
bo‘ladi. 
Endi berilgan funksiyalarni grafiklarini chizamiz (1-shakl). 
1-shakl 
Shakldan ko‘rinib, turibdiki 
oraliq berilgan tengsizlikning yechimi 
bo‘ladi. 
2-misol
. Ushbu 
x
x



1
1
tengsizlikni grafik usulda yeching. 
Yechish.
1


x
y
funksiyalar grafigini bitta koordinatalar sistemasida chizamiz. 
Oldin, 
x
y

1
funksiya grafigini chizib, 
ox
o‘qini quyi qismidagi grafikni shu o‘qqa 
nisbatan simmetrik yuqoriga ko‘chirsak 
x
y

2
funksiya grafigi xosil bo‘ladi, bu 
grafikni 
o‘qi bo‘yicha -1 birlik pastga tushirsak
1
3


x
y
funksiya grafigi xosil 
bo‘ladi. Hosil bo‘lgan grafikni 
ox
o‘kining quyi qismidagi bo‘lagini shu o‘qqa nisbatan 
simmetrik yuqoriga ko‘chirsak

---

~ 200 ~ 
1


x
y
funksiya grafigi xosil bo‘ladi, shuningdek
x
y


1
funksiya grafigini chizamiz 
(2-shakl). 
2-shakl 
Shakldan ko‘rnib, turibdiki berilgan tengsizlik yechimi (
) oraliqdan iborat 
bo‘ladi. 
Foydalanilgan adabiyotlar 
1.
 
“Funksiyalar va ularning grafiklari” O. Begaliev, A. Qurbonnazarov. Termiz. 
“Surxon nashr”. 2019 yil
 
2.
 
“Funksiyalar va grafiklar” A. Gaziev, I. Israilov, M. Yaxshiboev. T. “Voris 
nashriyoti”. 2006 yil
 
 
 
TENGLAMALAR SISTEMASINING TUB SONLARDAGI YECHIMLARI 
SONINI ANIQLASHTIRISHGA KRIPTOGARFIYANING TADBIQI
 
Boysoatova Yulduz fizika-matematika fakulteti matematika talim yo‘nalishi 308- 
guruh talabasi 
Avvalo kriptografiya nima u nima uchun muhimligi haqida ma’lumotlarni 
keltiramiz. Kriptografiya –grek tilidan olingan bo‘lib, “maxfiy yozish” degan ma’noni 
anglatadi. Boshqacha aytganda mazkur tushuncha biror ma’lumotning maxfiyligini 
saqlash va himoyalashdan iborat demakdir. 
Bugungi kunda axborotlarning muhofazasini ta’minlashning turli usullari mavjud 
bo‘lib, masalan ma’lumotni ishonchli seyfda saqlash va ushbu ma’lumot bilan tanishishi 

---

~ 201 ~ 
mumkin bo‘lgan shaxslar sonini cheklab qo‘yish, qa’tiy qo‘riqlanadigan binolardan 
foydalanish mumkin. Axborotlarni bunday muhofazalash usularining qulaylik 
tomonlari bilan birga noqulayliklari ham bo‘lib, bu noqulayliklar axborotlar 
almashinuvi jarayonida namoyon bo‘ladi. 
Kriptografiya uzatilayotgan ma’lumotning maxfiyligini yashirmaydi, balki uni 
kriptoanalitik tushuna olmaydigan ko‘rinishga almashtiradi xolos. Bu erda aloqa 
tarmog‘i kriptoanalitik tomonidan to‘liq nazorat qilinadi deb qaraladi. 
Uzatilayotgan ochiq ma’lumot ko‘rinishini almashtirish muammosi aloqa 
tarmog‘ida foydalanuvchilari o‘rtasida echilishi kerak bo‘lgan masalaning bir tomoni 
bo‘lsa, ikkinchi tomoni - ma’lumotlar almashuvi amalga oshirilganda uzatilayotgan va 
qabul qilib olinayotgan ma’lumotlarning hamda foydalanuvchilarning haqiqiyligini 
ta’minlash talab etiladi.
Shu bilan birga kriptografiyiyaning bir qancha usullari mavjud bo‘lib ular 
yordamida ma’lumotlarni o‘zgarishsiz uzatish va saqlash , axborotlarning maxfiyligini 
(konfidenstialligi ta’minlash), to‘liqligini (o‘zgartirilmagaligini aniqlash), 
autentifikastiyasi 
(foydalanuvchilarning 
haqiqiyligini 
aniqlash), 
tomonlarning 
avtorlikni tan olmasligi kabi xolatlarning oldini olishni ta’minlash, kalitlarni yaratish, 
tarqatish va boshqarishni ta’minlash kabi masalalarni yechish bilan shug‘ullanuvchi 
bilim sohasi hisoblanadi.Bu jarayonni mohiyatan quyidagi jadval shaklida keltirish 
mumkin: 
Uzatuvchi Qabul qiluvchi 
Quyidagicha belgilashlar kiritib olamiz: 
Ochiq 
matn 
Ochiq 
matn 
kriptogr
amma 
А 
deshifrlash 
В 
shifrlash 

---

~ 202 ~ 
M-ochiq matn;
S-shifr matn (kriptogramma); 
E-shifrlash algoritmi;
D-deshifrlash algoritmi; 
K1 – shifrlash kaliti; 
K2 – deshifrlash kaliti. 
Ushbu belgilashlarga nisbatan shifrlash va deshifrlash jarayonini quyidagicha tengliklar 
bilan ifodalash mumkin: 
EK (M) = S,
DK (C) = M, 
Bu erda
DK (EK (M)) = M 
sharti bajarilishi zarur. 
Kriptotizimlar kalitlardan foydalanishga ko‘ra to‘tta turga bo‘linadi [2,13]: 
Simmetrik kriptotizimlar, bunda k1 = k2 tenglik o‘rinli bo‘ladi, ya’ni shifrlash va 
deshifrlash kalitlari bir xilda. 
Asimmetrik kriptotizimlar. Bunda k1 k2 bo‘lib, k1 -kalit, k2 -kalit bilan bog‘liq 
bo‘lsada, k1 -kalitni bilish, k2 -kalitni topish k2 -kalitni topish imkonini bermaydi.
Biz bu yerda ushbu 
𝑏
𝑖
= 𝑎
𝑖1
𝑝
1
+ 𝑎
𝑖2
𝑝
2
+ 𝑎
𝑖3
𝑝
3
+ 
𝑎
𝑖4
𝑝
4
(
𝑖 = 1,2
) (1) 
sistema tub sonlardagi yechimlari orqali axbarot uzatilishini maxfiylashtirish masalasini 
qarab chiqamiz. 
Aniqlik uchun 
𝑎
11
= 1, 𝑎
12
= 2 , 𝑎
13
= 3 , 𝑎
14
= 4
,
𝑎
21
= 2, 𝑎
22
= 1 , 𝑎
23
=
5 , 𝑎
24
= 3
bo‘lgan holda sistamaning tub solardan iborat yechimlari ifodalovchi 
(𝑏
1
, 𝑏
2
)
juftliklarga alifbo harflarini mos qo‘yamiz:
Bunda tub sonlarning olinishi quyidagi qonuniyatga amal qilinishi shart: 
Birinchi: 
𝑝 = 2, = 3, = 5 , = 7
Ikkinchi: 
𝑝 = 11, = 3, = 5 , = 7
Uchunchi:
𝑝 = 13, = 11 , = 3, = 5 ,
To‘rtinchi: 
𝑝 = 17 , = 13, = 11, = 3,
beshinchi: 
𝑝 = 19, = 17 , = 13, = 11,
oltinchi: 
𝑝 = 23 , = 19, = 17 , = 13,
va xokozo 
alifbo harflarining takrorlanishi 
𝑥 ≡ 𝑎(𝑚𝑜𝑑𝑝)
taqqoslamani qanoatlantiradi. 
Bu jarayonning dasturi tuziladi va RSA kriptoalgoritmi dasturlash qismi quyidagicha 
ishni amalga oshiradi: 
1
2
2
1


---

~ 203 ~ 
Dastur ishga tushirilishi bilan ekranda quyidagi (rasm-7) 
rasm-7 
shakl hosil bo‘lib, to‘rtta tub son p , hamda shifrlash, deshifrlash uchun 
foydalaniladigan 
𝑏
1
va 
𝑏
2
parametrlari haqida malumot beruvchi ekran paydo bo‘ladi. 
Bu ekranga masalan: p=2, =3, =5, =7 tub sonlarni kiritsak
Dastur kiritilgan to‘tta tub songa nisbatan RSA algoritmi qadamlariga muvofiq maxfiy 
kalit 
𝑏
1
va 
𝑏
2
-ni topib oladi va ochiq kalitni topishi uchun bu tanlanilgan 
𝑏
1
va 
𝑏
2
– 
soniga nisbatan sistema yagona echimga ega ekanligi haqida xabar chiqadi. Bu xabar 
bizga haqiqatan tanlanilgan
𝑏
1
va 
𝑏
2
– sonlari to‘g‘ri topilganidan darak beradi. 
sistema yagona echimga bo‘lsa, shu echimni topishni yani ochiq kalit hisoblangan “
𝑏
1
va 
𝑏
2
” -sonlari topiladi.
Bu hosil qilingan parametrlar yordamida esa kerakli malumotni shifrlashimiz mumkin. 
Buning uchun «Ochik matn» menyusiga kirib, masalan