Introduction to Algorithms, Third Edition

Exercises
28.3-1
Prove that every diagonal element of a symmetric positive-definite matrix is posi-
tive.
28.3-2
Let
A
D
a b
b
c
be a
2
2
symmetric positive-definite matrix. Prove that its
determinant
ac
b
2
is positive by “completing the square” in a manner similar to
that used in the proof of Lemma 28.5.
28.3-3
Prove that the maximum element in a symmetric positive-definite matrix lies on
the diagonal.
28.3-4
Prove that the determinant of each leading submatrix of a symmetric positive-
definite matrix is positive.
28.3-5
Let
A
k
denote the
k
th leading submatrix of a symmetric positive-definite matrix
A
.
Prove that det
.A
k
/=
det
.A
k
1
/
is the
k
th pivot during LU decomposition, where,
by convention, det
.A
0
/
D
1
.
28.3-6
Find the function of the form
F .x/
D
c
1
C
c
2
x
lg
x
C
c
3
e
x
that is the best least-squares fit to the data points
.1; 1/; .2; 1/; .3; 3/; .4; 8/ :

---

840
Chapter 28
Matrix Operations
28.3-7
Show that the pseudoinverse
A
C
satisfies the following four equations:
AA
C
A
D
A ;
A
C
AA
C
D
A
C
;
.AA
C
/
T
D
AA
C
;
.A
C
A/
T
D
A
C
A :
Problems