Интилганга толе ёр

Квадратур формулаларининг хатолиги?

Хатолик баҳоси. Интерполяцион квадратур формула хатолиги ифодасини аниқлаймиз. Бунинг учун f(x) функцияни
f(x)=L_n(x)+R_n+1(x)
кўринишда тасвирлаймиз. Бунда L_n(x) f(x) функция учун x₀,x₁,...,x_n тугун нуқталар бўйича қурилган интерполяцион кўпҳад, R_n+1 - интерполяция хатолиги.
Интеграл остидаги f(x) функция ўрнига унинг интерполяцион кўпҳади ёрдамида ёзилган ифодасини қўйсак

тенглик ҳосил бўлади.
Бу тенгликдан (2)- формула хатолиги
(5)
кўринишда ифодаланади. Бунда t_n+1(x) - интарполяция хатолиги. Интарполяция хатолиги ифодасидан фойдаланиб
(6)
формулани ҳосил қиламиз
Агар

қилиб белгиласак
(7)
баҳо ҳосил бўлади.
(7) – баҳодан қуйидаги фикрнинг тўгрилиги келиб чиқади. n+1 та x₀,x₁,...,x _n тугун нуқталар учун қурилган интерполяцион квадратур формула n-чи тартибли ҳар қандай кўпҳадни аниқ интеграллайди, яъни агар f(x) n-чи даражали ихтиерий кўпхад бўлиб, C_k - коэффициентлар (4) -формулага мувофиқ ҳисобланган бўлсалар, унда

аниқ тенглик бажарилади. Бундай квадратур формуланинг алгебраик тартиби n га тенг деб айтилади. Бунга тескари тасдиқ ҳам ўринли.
Теорема. Агар
(8)
n-чи тартибли барча кўпҳадлар учун аниқ бўлса, унда у интерполяцион квадратур формуладир.
Исбот
k=0,1,..
эканлигини кўрсатиш етарли.
k=0,1,...,
кўпҳадларни қараймиз.

интегрални ҳисоблаймиз.
Теорема шартига кўра

тенгликлар ўринли.

бўлганлиги учун I_k = d_k, k=0,1,...,n бўлади
Лекин I_k=C_k , k=0,1,...,n эканлиги маълум.
Шундай қилиб , d_k=C_k , k=0,1,...,n эканлиги маълум бўлди.

4.