Interpoltatsiya

Chekli ayirmalar jadvali
. Teng masofalarda yotuvchi 
x
0
,x
1
,x
2,………… 
x
i,…………… 
x
n,………………. 
( bu yerda x
1
- x
0
= x
2
- x
1
=…………=h=const, h ni qadam deb qaraymiz ) nuqtalar 
uchun ushbu 
y
0
,y
1
,y
2,………… 
y
i,…………… 
y
n,………………. 
Javal qiymatlar bilan berilgan y=f(x) funklsiyani qaraymiz bunda 
f(x
0
)=y
0
f(x
1
)=( x
0
+h) = y
1
f(x
2
)=f(x 
2
+2h) = y
2
……………………………………. 
f(x
i
)=f(x
0
+ ih) = y
i
……………………………………………….. 
Chekli ayirmalar quyidagi munosabatdlar bilan aniqlanadi: 
y
n
=y
1
– y
0
; 
2
y
n
= ( y
1
)= ( y
1
– y
0
) = y
1
- y
0
; 
3
y
0
= ( 
2
y
0
) = ( y
1
– y
0
) = 
2
y
2
- 
2
y
1
y
2
=y
2
– y
1
= 
2
y
2
= ( y
2
) = (y
2
– y
1
) = y
2
- y
1
2
y
1
= ( 
2
y
1
) = ( y
2
– y
1
) = 
2
y
2
- 
2
y
1
…………………………………………………………. 
y
i 
= y
i+1 
– y
i 
2
y
i+1 
- 
3
y
i 
= 
2
y
i+1 
- 
2
y
i 

---

8 
Va hakozo
n
y
i 
=
n-1
y
i-1 
-
n-1
y
i . 
Turli tartibli chekli ayirmalarni ikki xil ko‘rinishgi jadvallar shaklida 
joylashtirish qulay: ayirmalari gorizantal jadval ( 1 va 2 – jadvallar ) va 
ayirmalari diognal jadvallar (3 - jadval). 
dasturlash tilida qo‘llash. 
1 – jadval. 
x 
y 
y 
2
y
3
y
4
y
x
0
y
0
y
0
2
y
0
3
y
0
4
y
0
x
1
y
1
y
1
2
y
1
3
y
1
4
y
1
x
2
y
2
y
2
2
y
2
3
y
2
4
y
2
x
3
y
3
y
3
2
y
3
3
y
3
4
y
3
x
4
y
4
y
4
2
y
4
3
y
4
4
y
4
Jadvani to‘ldirish n – chekli ayirmalar o‘zgarmas bo‘lib qolguncha yoki ular bir – 
biridan absolyut qiymatlar bo‘yicha e dan ham songa farq qiluvchi davom ettiriladi, 
bu yerda e – berilgan aniqlik. 
3
– misol. Ushbu 
y = 2x
3
– 2x
2
+ 3x – 1 
Chekli ayirmalar jadvalini boshlang‘ichi x
0
= 0 qiymat bo‘yicha va qadami h=1 deb 
qabul qilib tuzing. 
Yechish : x
0
=0 , x
1
=1, x
2
=2 deb faraz qilib funksiyaning qiymatlarni topamiz y
0
=- 
1, y
1
=2, y
2
=13.Berilgan funksiyani uchunchi darajali ko‘pxad bo‘lgani uchun 
uchunchi chekli ayirma o‘zgarmas va 
3
y=2*3! h
2
=12 ga teng ,yuqori tartibli 
barcha chekli ayirmalar esa nolga teng.Chekli ayirmalar jadvalini tuzamiz. 
2
– jadval 
x 
Y 
y 
2
y
3
y
4
y
0 
-1 
2-(-1)=3 
11-3=8 
11 
0 
1 
2 
13-2=11 
20 
11 
0 
2 
13 
31 
32 
11 
3 
44 
63 
44 
4 
107 
107 
5 
214 
Jadvalni bunda buyon to‘ldirishni endi qo‘shish yordamida amalga oshirish 
mumkin. 

---

9 
Tuzilgan jadvalni diognal shaklida ham yozish mumkin: 
3
– jadval 
x 
Y 
y 
2
y
3
y
4
y
0 
-1 
3 
1 
2 
11 
8 
2 
13 
31 
20 
11 
0 
3 
44 
63 
32 
11 
0 
4 
107 
107 
44 
11 
5 
214 
4.
Umumlashgan daraja.
Kelgusida bizga umumlashgan daraja kerak bo‘ldi.Shu 
tushuncha bilan tanishishimizga x va h berilgan bo‘lsin. 
3.Tarif: x sonining umumlashgan n – darajasi deb birinchisi x gat eng bo‘lib har bir 
keyingisi o‘zidan oldingisidan n qadar kichik bo‘lgan n ta ko‘paytuvchining 
ko‘paytmasiga aytiladi: 
x
[n]
=x( x – h )( x – 2h )…………………..( x – ( n – 1 )h ). 
bu yerda x
[n]
umumlashgan n – daraja x
[0]
= 1 deb faraz qilamiz. 
h=0 bo‘lganda umumlashgan daraja odatdagi mos bo‘ladi x
[n]
= x
n
x=h deb faraz qilib umumlashgan darajalar uchun chekli ayirmalarni hisoblaymiz: 
Birinchi ayorma uchun quyidagiga egamiz y= x
[n]
y= x
[n]
– ( x+h )
[n]
– x
[n]
– ( x+h )x( x-h )( x-2h )……( x- ( n-2 )h – x( x –h ) (x— 
2h)….( x – ( n-2 )h( x – 1 )h) – x( x – h )( x - 2h )………( x-( n – 2 )h (x+h – x+( n 
– 1 ) - x
[n-1]
n
h
. 
ya‘ni x
[n]
=n
h
x
[n]
Nyuton ayirmasini hisoblab quyidagiga ega bo‘lamiz: 
n
x
[n]
= ( n
h
x
[n-1]
)=nh x
[n-1]
– n
h
( n-1 )h
k
2
[n-1]
– n
h
( n-1 )h
[n-1]
– 
n( n – 1 )
h 
[n-2]
– n( n – 1 )
h 
[n-k]
ya‘ni 
k 
k 
n
x
[n]
=n( n – 1 )h
[n-1]
. 
Amalarni takroran bajarib quydagiga ega natijani olamiz 
n
x
[n]
=h
t
n( n – 1 )……………….( n – k+t ) x
[n-1]
Xususan h=n bo‘lganda 
n
x
n
=n!h
n
,h>0 bo‘lganda 
n
x
n
=0 bo‘ladi 
5.
Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasi: 
Aytaylik y=f(x) funksiyaning 
erkli o‘zgaruvchilari teng uzoqlikda yotuvchi
x
0,
x
1,
x
2………………
x
n
( bunda x
1
= x
0
+h , x
2
= x
1
+2h ..................... x
n
= x
n-1
+nh 
va h – interpolyatsiya qadami ) qiymatlari uchun ushbu 

---

10 
y
0 
y
0
,y
1
,y
2
................................. y
n
Qiymatlari berilgan bo‘lsin x
i
nuqtalarni 
y
i
=P
n
( x
i
) ( i= 
0, 
n 
) (1.1) 
Qiymatlarni qabul qiluvchi darajasi n dan katta bo‘lgan P
n
( x
i
) ko‘phadni tanlash 
talab etiladi. 
Shartni quyidagicha yozib olamiz: 
m
P
n
(x
0
)= 
m
y
0
( m= 
0, 
n 
) 
(1.2) 
Ko‘phadni quyidagi ko‘rinishda yozib izlaymiz 
P
n
(x)= a
0
+ a
1
( x – x
0
)+ a
2
(x - x
0
)(x - x
1
)+ 
+ a
2
(x – x
0
)(x - x
1
)( x – x
0
)+ … +a
n
(x - x
0
)(x - x
1
) 
(x – x
2
)(x – x
3
) …( x – x
i-1
) 
Umumlashgan darajadan foydalanib bu ifodani quyidagich yozamiz 
P
n
(x)= a
0
+ a
1
( x – x
0
)
[1]
+a
2
( x – x
0
)
[2]
+ a
2
( x – x
0
)
[3]
+ 
+ …. + a
2
( x – x
0
)
[n]
. 
(1.3) 
Masala P
n
( x ) ko‘phadning a
0
,a
2
, a
3
, …. …. ,a
n
koeffitsientlarini topishdan iborat. 
(1.3) tenglikda x= x
0
deb faraz qilib quyidagiga ega bo‘lmiz 
P
n
(x
0
)= y
0
=a
o
bunda a
0
=y
0
a
1
koeffitsientni toppish uchun P
n
(x) ko‘phadning birinchi chekli ayirmasini 
tuzamiz. 
P
n
(x)= a
1
h + a
1
2h( x - a
0
)
[1]
+ 3 a
1
h( x - a
0
)
[2]
+ 
+ … + a
1
nh( x - a
0
)
[n-1]
Bu yerda x=x
0
deb faraz qilib ,quyidagiga ega bo‘lmiz: 
2
P
n
(x
0
)= 
2
y
0
=a
2
2! 
2
,bunda a
2
= 
Jarayoni ketma – ket takrorlab borib ,biz 
2!
h 
2
a
i
= 
i
!
h
i
 

(i= 
0, 
n 
) 
shundan topamiz ,bu yerda 0!=1 va 
0
y
0
=y
0
deymiz. 
a
0
,a
2
, a
3
, …. …. ,a
n
koeffitsientlarni topillgan qiymatlarni (1.3) ifodaga qo‘yib , 
Nyutonning interpolyatsiya ko‘phadni hosil qilamiz 
P
0
(x)=y
0
+ 
1!
h 
( x – x
0
)
[1]
+ 
n 
y 
2!
h 
2
( x – x
0
)
[2]
+ … + 
+ 
0
( x – x )
[n] 
n
! 
n
 
0
y
0 
0
i 
y 
y
0 

---

11 
x x
n 
2
h 
x x
n 
h i 
x x
0 
n 
(1.4) ko‘phad qo‘yilgan masalaning talablari butunlay qanotlantiradi. Nyutonning 
(1.4) interpolyatsiya formulasini sodaroq ko‘rish uchun y yangi q= 
bilan yuqoridagi soddalashtirilga ko‘rinishda yoziladi.U holda 
kirtish 
(
x x 
)
[
n
] 
x x
n 
x x
2 
h 
0 
= 
n
! 
n 
n 
… 
n 
=
=q( q - 1 )( q - 2 ) …( q – i +1 ) bu yerda i= 
0, 
n 
Bu yerda (1.4) gag a qo‘yib ,quyidagiga ega bo‘lamiz 
q
(
q 
P (x)=y +q y + 
1)
 
y + 
q
(
q
 
1)(
q 
2)
y
+ … + 
n 
0 
q
(
q 
+ 
0 
1)(
q 
2! 
0
2)...(
q n 
n
! 
3! 
0
1) 
y
0
(1.5) 
bu yerda q= 
x
0
nuqtadan chiqib x nuqtaga yetguncha oraliqdagi qadamlar 
sonini ifodalaydi.(1.5) formula Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasidir. Bu 
formula funksifaning boshlang‘ich x
0
qiymatni atrofida interpolyatsialashda 
qo‘llaniladi ,bu yarda q – absolyut qiymati bo‘yicha olingan son. 
n=1bo‘lganda chiziqli interpolyatsiya formulasini tuzamiz: 
P
n
(x)= y
n
+q y
0
+ 
q
(
q 
2 
1) 
y
0
n=2 bo‘lganda parabolik yoki kvadratik interpolyatsiyasini tuzilmasiga ega bo‘lamiz 
P
2
(x)= y
0
+ q y
0
+ 
q
(
q 
1)
2 
2 
y
0
4
– misol.Jadvalda berilgan y=f(x) fuksiya uchun Nyutonni birinchi interpolyatsiya 
formulasini yozing: 
X
i
0 
1 
2 
3 
4 
5 
y
i
5,2 
8 
10,4 
12,8 
14,0 
15,2 
Yechish: Chekli ayirmalar jadvalini tuzmiz 
x 
Y 
y
0 
y
1 
y
3 
0 
5,2 
2,8 
-0.4 
0 
1 
8 
2,4 
-0.4 
0 
2 
10,4 
2 
-0.4 
0 
3 
12,8 
1,4 
-0.4 
4 
14,0 
1,2 
5 
15,2 
x x
0 
n 
n 

---

12 
x 
0 
1 
Jadvaldan foydalanib ,Nyutonning (1.5) formulasini tuzamiz: 
P
n
(x)=5,2+q*2.8+ 
q
(
q 
1)
2 
( -0.4 ) , 
Bu yerda q= 
=x.Natijada quyidagiga ega bo‘lamiz 
P
n
(x)=5,2+2,8x- 
x
(
x 
1)
2! 
0,4 
Izlanayotgan funksiyani yakuniy ko‘rinishni quyidagicha: 
P
2
(x)=5,2+2,8 x - 0,2x
2
Eslatma:y=f(x) funksiya x nuqtadagi qiymatni taqribiy hisoblash uchun y=P
n
(x) deb 
faraz qilinadi,bu yerda x nuqta x
2
nuqtaga yaqin nuqta. 
6.