|
Nyutonning ikkkinchi interpolyatsiya formulasi.
Nyutonning birinchi
interpolyatsiya formulasi funksiyaning boshlang‘ich x
0
nuqtaga yaqin nuqtalarda
interpolyatsialshga qullay, lekin oxirgi x
n
nuqtalar uchun esa noqulaydir.Bunday
holllarda,Nyutonning ikkinchi interpolyatsiya formulasi qo‘llaniladi.
Funsiyaning argumenting teng masoflarda yotuvchi
x
p
, x
1
= x
0
+h; x
2
= x
0
+2h , … , x
p
= x
p
+ nh.
( bu yerda h – interpolyatsiya qadami ) qiymatlarni qabul qiluvchi quyidagi
qiymatlari sistamasiga ega bo‘lamiz.
y
1
=f(x
0
), y
2
=f(x
1
) , … , y
n=
f(x
n
)
interpolyatsialanuvchi ko‘phadni yozamiz:
P
n
( x
0
)=a
0
+a
1
( x – x
0
)+a
2
(x – x
0
)( x - x
n-1
) + … + …
… + a
n
( x – x
n
)( x – x
n-1
)( x – x
1
) .
(1.6)
Oldingi bandagiga o‘xshash sonlarni taqribiy a
0
,a
1
,a
2
, … … ,a
n
keffisiantlarni topamiz (1.6) ko‘phadni topilgan koeffisiantlari bilan yakuniy
yozilishi quyidagi ko‘rinishga ega.
Yangi q=
P
n
(x)=a
0
+a
1
(x - x
1
) + a
2
( x - x
0
)( x – x
1
) + . . .
. . . +a
n
( x – x
n
)( x- x
n-1
) . . . ( x- x
0
)
(1.7)
o‘zgaruvchi kiritmiz va (1.4) formulani qayta yozamiz
x x
n
n
13
y
n
1
y
n
2
y
n
3
y
1
P
n
(x)=y
0
+
1!
q +
2!
q (q + 1) +
3!
q( q + 1 )( q + 2 ) + …
+
1!
q( q + 1 )( q + 2) + … … +( q + n – 1 ).
(1.8)
(1.8) formula Nyutonning ikkinchi interpolyatsiya ko‘phadni ko‘rinishi.
5 – misol.y=lgx funksiyaning qiymatlari jadvalda berilgan
x
1000
1010
1020
1030
1040
1050
y
3,00000
3,00432
3,00560
3,01283
3,01783
3,02119
lg 1044 ni toping.
Yechish.Chekli ayirmalar jadvalini tuzamiz
x
Y
y
2
y
i
3
y
i
4
y
i
5
y
i
1000
1010
1020
1030
1040
1050
3,00000
3,00432
3,00560
3,00883
3,01783
3,02119
0,00432
0,00428
0,00423
0,00420
0,00346
-0,00004
-0,00005
-0,00007
-0,00004
-0,00001
-0,00002
-0,00003
0,00001
-0,00001
-
0,00002
x x
0
1044 1050
q =
h
=
10
= -0,6,
y 3,02119 +
0,00416
1!
( -0,6 ) -
0,00004
2!
( -0,6)( -0,6+1 ) –
(
0,00001
0,6) (0,6 1) (
3!
0,6 2)
- …
3,01829
7.
Lagranjning interpolyatsiya formulasi.
Nyutonning interpolyatsiya formulasi
faqat teng masofalarda yotuvchi interpolyatsion tugunlari holi uchun
yaroqli.Ixtiyoriy oraliqda berilgan interpolyatsialash tugunlari uchun Lagranjning
interpolyatsiya formulasi deb ataluvchi anchagina umumiyroq bo‘ladigan
formuladan foydalaniladi.
14
x x
2
x
3
x
2
L
i
y
(
x
(
x
2
x
1
) (
x x
2
)
x
1
) (
x
3
x
2
)
y
(
x
(
x
3
x
2
)(
x x
3
)
x
1
)(
x
3
x
2
)
(
x
(
x
2
x
1
) (
x
x
0
) (
x
2
x
2
)
x
1
)
Aytaylik argumentning n+1 ta turli
x
0
,x
1
,x
2
,x
3
… … ,x
n
qiymatlari va f(x) funksiyasi uchun malum unga mos
f(x
0
) = y
0
f(x
1
) = y
1
f(x
2
) = y
2
, … … ,f(x
n
) = y
n
Qiymatlar berilgan berilgan bo‘lsin.Darajasi n dan yuqori bo‘lgan va berilgan x
i
tugun nuqtalarda f(x) funksiya qabul qilgan qiymatlarga ega bo‘lsa,yani
L
n
(x
i
) = x
i
( i =
bo‘lgan L
n
(x
i
) ko‘phadni topish talab etiladi,
0,
n
)
Lagranjning izlanayotgan L
n
(x
i
) ko‘phadni keltirib chiqarganini qabulqilamiz
L
n
(x
i
) =
(1.9)
Agar interpolyatsiyani tugunlari teng masofalarda yotsa u holda Lagranjning (1.9)
interpolyatsiya formulasi Nyutonning interpolyatsiya formulasi bilan ustma – ust
tushadi.
Xususan ,(1.9) formula
n=1 bo‘lganda
0
y
1
;
n = 2 bo‘lganda
ko‘rinishni oladi.
0
1
+
+
y
2
;
8.
Lagranj koeffisientlarni hisoblash.
(1.4) formulani soddalashtiramiz.Bunda
belgilash kiritamiz:
П
n+1
(x) = ( x – x
0
)( x – x
1
)( x - x
2
)( x – x
3
), … ,( x – x
n
) ; (1.10)
Hosobini tuzamiz:
П
n+1
(x) = ( x – x
0
)( x – x
1
), … ,( x – x
i
) + ( x – x
1
)( x-x
2
), … ,( x – x
n
) +
+ ( x - x
0
)( x - x
1
)( x – x
2
), … ,( x – x
n
) + …
+ ( x – x
0
)( x – x
1
), … ,( x – x
i-1
)( x – x
i
), … ,( x – x
n
) +
n
y
i
(
x
i
1
0
x
0
) (
x
j
x
) (
x x
) (
x
1
x
1
) (
x
j
x
) ... (
x x
2
x
2
) ... (
x
j
i
1
) (
x x
) ... (
x
i
x
)
n
(
x
j
x
i
1
) (
x
j
x
i
) ... (
x
j
x
n
)
x x
1
x
2
x
1
L
i
y
15
n
П
n
1
(
x
)
i
0
П
n
1
(
x
i
)(
x x
i
)
n
y
i
i
1
n
n
+ … + ( x – x
0
)( x – x
1
), … ,( x – x
n-1
) ;
Bu yerda x = x
i
,i =
0,
n
deb xisoblab,quyidagiga ega bo‘lamiz:
П
n+1
(x
i
) = ( x
i
- x
0
)(x
i
– x
1
), … ,( x
i
– x
i-1
)( x –
- x
i+1
) ... ( x
i
- x
n
).
(1.10) va (1.11) ifodalarni (1.9) formulaga qo‘yamiz :
L
i
(x) =
y
i
(1.12)
(1.12) formuladagi y
i
lar oldidagi koeffisientlar Lagranj koeffisientlari deb ataladi va
quyidagich belgilanildi :
L
[i]
(x) =
Bunda Lagranjning (1.12) formulasi quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi :
L
n
(x) =
L
[i]
(x)
Lagranj formulalarni qo‘llash uchun x
i
– x
n
ayirmalar jadvalini tuzamiz :
0
0
1
2
3
i
n
D
i
Y
i
Y
i
/D
i
0
1
2
3
…
i
…
n
x – x
0
x
0
– x
1
x
0
– x
2
x
0
– x
3
…
x
0
- x
i
…
x
0
– x
n
x
1
– x
0
x– x
1
x
1
– x
2
x
1
– x
3
…
x
1
- x
i
…
x
1
– x
n
x
2
– x
0
x
2
– x
1
x– x
2
x
2
– x
3
…
x
2
- x
i
…
x
2
– x
n
x
3
– x
0
x
3
– x
1
x
3
– x
2
x– x
3
…
x
3
– x
i
…
x
1
– x
n
x
i
– x
0
x
i
– x
1
x
i
– x
2
x
i
– x
3
…
x - x
i
…
x
i
– x
n
x
n
– x
0
x
n
– x
1
x
n
– x
2
x
n
– x
3
…
x
n
- x
i
…
x – x
n
D
0
D
1
D
2
D
3
….
D
i
…
D
n
y
0
y
1
y
2
y
3
…
y
i
…
y
n
y
0
/D
0
y
1
/D
1
y
2
/D
2
y
3
/D
3
…
y
i
/D
i
…
y
n
/D
n
Jadvaldagi D
0
, D
1
, D
2
, D
3
, … , D
n
– mos ravishdagi satrlar ko‘paytmasi.
D
i
= ( x
i
– x
1
) ( x
i
– x
2
) ( x
i
– x
3
) … ( x – x
i
) … ( x
i
– x
n
)
П
n+1
(x) – ostiga chizilgan diognal ko‘paytmasi.
П
n+1
(x) = ( x – x
0
) ( x – x
1
) ( x – x
2
) … ( x – x
i
) … ( x – x
n
)
Demak
n
П
n
1
(
x
)
i
0
П
n
1
(
x
i
)(
x x
i
)
16
n
y
i
i
1
D
i
n
va koeffsientlari topiladi
Demak,
L
[i]
(x) =
П
n 1
(
x
)
D
i
, i =
0,
n
L
n
(x) = П
n+1
(x)
,
bu yerda
= S
n+1
– jadvalning oxirgi ustunlari yig‘indisi.Shunday qilib,
L
n
(x) = П
n+1
(x) S
n+1
.
6 – misol.f(x) funksiyaning qiymatlari jadvalda berilgan
X
81
85
87
88
89
90
Y
0,12346
0,11765
0,011494
0,011364
0,011236
0,011111
x
i
x
i
-x
0
x
i
-x
1
x
i
-x
2
x
i
-x
3
x
i
-x
4
x
i
-x
5
D
i
y
i
Y
i
/D
i
81
85
87
88
89
90
2
4
6
7
8
9
-4
-1
2
3
4
5
-6
-2
-3
1
2
3
-7
-3
-1
-4
1
2
-8
-4
-2
-1
-5
1
-9
-5
-3
-2
-1
-6
-36287
-480
216
-168
320
-1620
0,12346
0,11765
0,011494
0,011364
0,011236
0,011111
-0,34026*10
-6
-0.2451*10
-6
-0,53219*10
-6
-0,67642*10
-6
-0,35112*10
-6
-0,68582
*
10
-6
f(84) = П
n
S
n
= -1080( -1)0,36676 10
-4
= 0,0112
9.
Do'stlaringiz bilan baham: |
