Интегрирование простейших рациональных дробей IV типа

На тему: Интегрирование простейших рациональных дробей IV типа

План:
1. Напомним, что дробно-рациональными называют функции вида

2. Среди правильных рациональных дробей выделяют четыре типа, которые относят к простейшим рациональным дробям
3. Интегрирование любой дробно-рациональной функции состоит из следующих этапов

Напомним, что дробно-рациональными называют функции вида

f(x)=Pn(x)Qm(x),f(x)=Pn(x)Qm(x),
в общем случае являющиеся отношением двух многочленов Pn(x)Pn(x) и Qm(x)Qm(x).
Если m>n≥0m>n≥0, то рациональную дробь называют правильной, в противном случае — неправильной. Используя правило деления многочленов, неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена Pn−mPn−m степени n−mn−m и некоторой правильной дроби, т.е.
Pn(x)Qm(x)=Pn−m(x)+Pl(x)Qn(x),Pn(x)Qm(x)=Pn−m(x)+Pl(x)Qn(x),
где степень ll многочлена Pl(x)Pl(x) меньше степени nn многочлена Qn(x)Qn(x).
Таким образом, неопределенный интеграл от рациональной функции можно представить суммой неопределенных интегралов от многочлена и от правильной рациональной дроби.
Интегралы от простейших рациональных дробей
Среди правильных рациональных дробей выделяют четыре типа, которые относят к простейшим рациональным дробям:

1. 
   Ax−aAx−a,
   
2. 
   A(x−a)kA(x−a)k,
   
3. 
   Ax+Bx2+px+qAx+Bx2+px+q,
   
4. 
   Ax+B(x2+px+q)kAx+B(x2+px+q)k,
   

где k>1k>1 — целое и p2−4q<0p2−4q<0, т.е. квадратные уравнения не имеют действительных корней.
Вычисление неопределенных интегралов от дробей первых двух типов
Вычисление неопределенных интегралов от дробей первых двух типов не вызывает затруднений:
∫Ax−adx∫A(x−a)kdx=A∫d(x−a)x−a=Aln|x−a|+C,=A∫d(x−a)(x−a)k=A(x−a)−k+1−k+1+C==−A(k−1)(x−a)k−1+C.∫Ax−adx=A∫d(x−a)x−a=Aln⁡|x−a|+C,∫A(x−a)kdx=A∫d(x−a)(x−a)k=A(x−a)−k+1−k+1+C==−A(k−1)(x−a)k−1+C.
Вычисление неопределенного интегралов от дробей третьего типа
Дробь третьего типа сначала преобразуем, выделив полный квадрат в знаменателе:
Ax+Bx2+px+q=Ax+B(x+p/2)2+q−p2/4,Ax+Bx2+px+q=Ax+B(x+p/2)2+q−p2/4,
так как p2−4q<0p2−4q<0, то q−p2/4>0q−p2/4>0, которое обозначим как a2a2. Заменив также t=x+p/2,dt=dxt=x+p/2,dt=dx, преобразуем знаменатель и запишем интеграл от дроби третьего типа в форме
∫Ax+Bx2+px+qdx=∫Ax+B(x+p/2)2+q−p2/4dx==∫A(t−p/2)+Bt2+a2dt=∫At+(B−Ap/2)t2+a2dt.∫Ax+Bx2+px+qdx=∫Ax+B(x+p/2)2+q−p2/4dx==∫A(t−p/2)+Bt2+a2dt=∫At+(B−Ap/2)t2+a2dt.
Последний интеграл, используя линейность неопределенного интеграла, представим в виде суммы двух и в первом из них введем tt под знак дифференциала:
∫At+(B−Ap/2)t2+a2dt=A∫tdtt2+a2+(B−pA2)∫dtt2+a2==A2∫d(t2+a2)t2+a2+−2B−pA2∫dtt2+a2==A2ln∣∣t2+a2∣∣+2B−pA2aarctgta+C.∫At+(B−Ap/2)t2+a2dt=A∫tdtt2+a2+(B−pA2)∫dtt2+a2==A2∫d(t2+a2)t2+a2+−2B−pA2∫dtt2+a2==A2ln⁡|t2+a2|+2B−pA2aarctgta+C.
Возвращаясь к исходной переменной xx, в итоге для дроби третьего типа получаем
∫Ax+Bx2+px+qdx=A2ln∣∣x2+px+q∣∣+2B−pA2aarctgx+p/2a+C,∫Ax+Bx2+px+qdx=A2ln⁡|x2+px+q|+2B−pA2aarctgx+p/2a+C,
где a2=q−p2/4>0a2=q−p2/4>0
Интегрирование любой дробно-рациональной функции состоит из следующих этапов:

1. 
   Выделение из нее целой рациональной функции — многочлена (он может быть и нулевым) и правильной рациональной дроби.
   
2. 
   Разложить знаменатель Q(x)Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений.
   
3. 
   Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов.
   
4. 
   Вычислить интегралы от простейших дробей.
   

Пример

Найти интеграл от неправильной дроби (x4+x)/(x3−1)(x4+x)/(x3−1).

1. 
   Выделим из нее целую рациональную функцию:
   

x4+xx3−1=x(x3+1−1)+xx3−1==x(x3−1)+2xx3−1==x+2xx3−1.x4+xx3−1=x(x3+1−1)+xx3−1==x(x3−1)+2xx3−1==x+2xx3−1.

2. 
   Разложим знаменатель на простые множители (в данном случае используем формулу сокращенного умножения)
   

x3−1=(x−1)(x2+x+1).x3−1=(x−1)(x2+x+1).

3. 
   Данное разложение имеет один действительный нуль и пару комплексно сопряженных, поэтому разложение будет выглядеть следующим образом:
   

2xx3−1=Ax−1+Bx+Cx2+x+1.2xx3−1=Ax−1+Bx+Cx2+x+1.
После приведения правой части данного равенства к общему знаменателю получим
2x=A(x2+x+1)+(Bx+C)(x−1).2x=A(x2+x+1)+(Bx+C)(x−1).
Это равенство верно при любых значениях xx. Полагая в нем x=1x=1, находим 2=3A2=3A, т.е. A=2/3A=2/3. При x=0x=0 имеем 0=A−C0=A−C, откуда C=A=2/3C=A=2/3. Наконец, приравнивая коэфициенты при x2x2, получаем 0=A+B0=A+B, или B=−A=−2/3B=−A=−2/3. Тогда
x4+xx3−1=x+231x−1−23x−1x2+x+1.x4+xx3−1=x+231x−1−23x−1x2+x+1.

4. 
   Таким образом,
   

∫x4+xx3−1dx=∫xdx+23∫1x−1dx−−23∫x−1x2+x+1dx.∫x4+xx3−1dx=∫xdx+23∫1x−1dx−−23∫x−1x2+x+1dx.
Первые два интеграла в правой части нетрудно найти при помощи табличных интегралов. В третьей же необходимо выделить полный квадрат: x2+x+1=(x+1/2)2+3/4x2+x+1=(x+1/2)2+3/4, и обозначить t=x+1/2,dx=dtt=x+1/2,dx=dt. Тогда, используя линейность неопределенного интеграла и применяя интегрирование подведением под знак дифференциала, получается

.