|
Лекция
7.
Интегрирование
иррациональных
функций
Интегрирование
иррациональных
функций
Интегралы
типа
,
,...,
ax b
ax b
R x
dx
cx
d
cx
d
α β
δ γ
+
+
+
+
∫
,
где
a
,
b
,
c
,
d
–
действительные
числа
,
α
,
β
,…,
δ
,
γ
–
натуральные
числа
,
сводятся
к
интегралам
от
рациональной
функции
путем
дробно
-
линейной
подстановки
k
ax b
t
cx
d
+
=
+
,
где
k
–
наименьшее
общее
кратное
знаменателей
дробей
,...,
α
δ
β
γ
.
Действительно
,
из
подстановки
k
ax b
t
cx
d
+
=
+
следует
,
что
k
k
b
dt
x
ct
a
−
=
−
и
(
) (
)
(
)
1
1
2
k
k
k
k
k
dkt
ct
a
b
dt
ckt
dx
dt
ct
a
−
−
−
−
−
−
=
−
,
т
.
е
.
x
и
dx
выражаются
через
рациональные
функции
от
t
.
При
этом
и
каждая
степень
дроби
ax b
cx
d
+
+
выражается
через
рациональную
функцию
от
t
.
Пример
.
Найти
интеграл
(
)
2
3
1
1
dx
I
x
x
=
−
+
−
∫
.
Наименьшее
общее
кратное
знаменателей
дробей
2
3
и
1
2
есть
6.
Поэтому
полагаем
6
6
5
6
1
,
1,
6
,
1
x
t
x
t
dx
t dt
t
x
− =
=
+
=
=
−
.
Следовательно
,
(
)
2
5
2
4
3
1
1
6
6
6
1
1
t
t dt
t dt
I
dt
t
t
t
t
−
+
=
=
=
=
+
+
+
∫
∫
∫
2
1
6
1
3
6
6 ln
1
1
t
dt
t
t
t
C
t
=
− +
=
−
+
+ +
=
+
∫
3
6
6
3
1 6
1 6 ln
1 1
x
x
x
C
= ⋅
− − ⋅
− +
− + +
.
1.
Интегралы
,
содержащие
квадратичные
иррациональности
Интегралы
типа
2
dx
ax
bx
c
+
+
∫
,
2
ax
bx
cdx
+
+
∫
,
2
mx
n
dx
ax
bx
c
+
+
+
∫
называют
неопределенными
интегралами
от
квадратичных
иррациональностей
.
Их
можно
найти
следующим
образом
:
под
радикалом
выделить
полный
квадрат
2
2
2
2
2
4
2
4
b
c
b
ac b
ax
bx
c
a x
x
a
x
a
a
a
a
−
+
+ =
+
+
=
+
+
и
сделать
подстановку
2
b
x
t
a
+
=
.
При
этом
первые
два
интеграла
приводятся
к
табличным
,
а
третий
–
к
сумме
двух
табличных
интегралов
.
Интегралы
типа
2
( )
n
P x
dx
ax
bx
c
+
+
∫
,
где
( )
n
P x
–
многочлен
степени
n
,
можно
вычислять
,
пользуясь
формулой
2
1
2
2
( )
( )
n
n
P x
dx
dx
Q
x
ax
bx
c
ax
bx
c
ax
bx
c
λ
−
=
⋅
+
+ +
+
+
+
+
∫
∫
, (1)
где
1
( )
n
Q
x
−
–
многочлен
степени
1
n
−
с
неопределенными
коэффициентами
,
λ
–
также
неопределенный
коэффициент
.
Все
неопределенные
коэффициенты
находятся
из
тождества
,
получаемого
дифференцированием
обеих
частей
равенства
(1):
2
1
2
2
( )
( )
n
n
P x
Q
x
ax
bx
c
ax
bx
c
ax
bx
c
λ
−
′
=
⋅
+
+
+
+
+
+
+
,
после
чего
необходимо
приравнять
коэффициенты
при
одинаковых
степенях
неизвестной
x
.
Примеры
.
1.
Найти
интеграл
2
2
3
dx
x
x
−
+
+
∫
.
Преобразуем
квадратный
трехчлен
:
2
2
2
2
3
(
2
1) 4
4 (
1)
x
x
x
x
x
−
+
+ = −
−
+
+ = −
−
и
сделаем
подстановку
:
1
,
1,
.
x
t
x
t
dx
dt
− =
= +
=
Тогда
2
2
2
1
arcsin
arcsin
.
2
2
2
3
2
dx
dt
t
x
C
C
x
x
t
−
=
=
+
=
+
−
+
+
−
∫
∫
2.
Найти
интеграл
2
2
2
2
5
x
I
dx
x
x
=
+
+
∫
.
По
формуле
(8.11)
имеем
(
)
2
2
2
2
2
2
5
2
5
2
5
x
dx
I
dx
Ax
B
x
x
x
x
x
x
λ
=
=
+
+
+ + ⋅
+
+
+
+
∫
∫
.
Дифференцируя
это
равенство
,
получаем
:
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
5
2
5
2
2
5
2
5
x
x
A
x
x
Ax
B
x
x
x
x
x
x
λ
+
=
⋅
+
+ +
+
⋅
+
+
+
+
+
+
+
,
т
.
е
.
(
)
(
)(
)
2
2
2
2
5
1
x
A x
x
Ax
B
x
λ
=
+
+
+
+
+
+
,
Сравнивая
коэффициенты
при
одинаковых
степенях
x
,
получаем
систему
2
1
0
при
: 2
,
при
: 0
2
,
при
: 0
5
.
x
A
A
x
A
A
B
x
A
B
=
+
=
+
+
=
+
+ λ
Решая
ее
,
находим
1
A
=
,
3
B
= −
,
2
λ
= −
.
Следовательно
,
(
)
(
)
2
2
3
2
5
2
1
4
dx
I
x
x
x
x
=
−
+
+ −
=
+
+
∫
(
)
2
2
3
2
5
2 ln
1
2
5
x
x
x
x
x
x
C
=
−
+
+ −
+ +
+
+
+
.
2.
Тригонометрические
и
гиперболические
подстановки
Интегралы
типа
2
2
;
R x
a
x
dx
−
∫
,
2
2
;
R x
a
x
dx
+
∫
,
2
2
;
R x
x
a
dx
−
∫
приводятся
к
интегралам
от
функций
,
рационально
зависящих
от
тригонометрических
или
гиперболических
функций
,
с
помощью
следующих
тригонометрических
и
гиперболических
подстановок
:
1)
2
2
;
R x
a
x
dx
−
∫
,
используем
подстановки
sin
x
a
t
=
,
2
2
cos
a
x
a
t
−
=
,
cos
dx
a
tdt
=
или
th
x
a t
=
,
2
2
ch
a
a
x
t
−
=
,
2
ch
a
dx
dt
t
=
;
2)
2
2
;
R x
a
x
dx
+
∫
,
используем
подстановки
tg
x
a
t
=
,
2
2
cos
a
a
x
t
+
=
,
2
cos
a
dx
dt
t
=
или
sh
x
a t
=
,
2
2
ch
a
x
a
t
+
=
,
ch
dx
a
tdt
=
;
3)
2
2
;
R x
x
a
dx
−
∫
,
используем
подстановки
cos
a
x
t
=
,
2
2
tg
x
a
a t
−
=
,
2
sin
cos
a
t
dx
dt
t
=
или
ch
x
a
t
=
,
2
2
sh
x
a
a
t
−
=
,
sh
dx
a
tdt
=
.
Пример
.
Найти
интеграл
2
9
x
I
dx
x
−
=
∫
.
Положим
3sin
x
t
=
,
3cos
dx
tdt
=
,
arcsin
3
x
t
=
.
Тогда
2
2
9 9sin
9 cos
3cos
3sin
3sin
t
t
I
tdt
dt
t
t
−
=
⋅
=
=
∫
∫
2
1 sin
3
3
3 sin
3ln tg
3cos
sin
sin
2
t
dt
t
dt
tdt
t
C
t
t
−
=
=
−
=
+
+
=
∫
∫
∫
2
2
1
3ln tg
arcsin
3cos(arcsin )
3ln
9
.
2
3
3
3
9
x
x
x
C
x
C
x
=
+
+
=
+
−
+
+
−
В
конце
были
произведены
следующие
преобразования
:
2
2
2
2
2
2
sin
sin
3
tg
,
2
1 cos
1
1 sin
3
9
1
1
9
1
cos
1 sin
1
9
.
9
3
x
t
t
t
x
t
t
x
x
x
t
t
x
=
=
=
=
+
+
−
+
−
+
−
=
−
=
−
=
−
Do'stlaringiz bilan baham: |
