Insoniyat, jamiyat tashkil eta boshlanganidan beri, boshqaruvning samarali usullari izlanib, tashkillashtirilib kelinmoqda

II Bob. Optimal masalalarni yechishda Bellman funktsiyasining o’rni.

2.1- Resurslarni taqsimlash masalasining qo’yilishi va matematik modeli.

Matematik modellashtirish deganda - berilgan real obyektning ba’zi bir matematik obyektga muvofiqligini belgilash jarayoni 'tushuniladi. Bu matematik obyekt matematik model deb ataladi va bu modelni tadqiq qilish o‘rganilayotgan real obyekt xarakteristikalarini olish imkonini beradi. Matematik modelning turi nafaqat rea! obyekt tabiatiga bog‘liq, balki obyektni tadqiq masalalariga va talab qilinadigan ishonchlilik hamda masalani yechish aniqligiga bog‘liq. Har qanday matematik model, boshqalarga o‘xshab, kutubxonasi haqiqatga yaqinlashishning ba’zi darajasi bilan real obyektni tavsiflaydi. Sistemalar ishlash jarayoni xarakteristikalarini tadqiq qilish uchun matematik modellashtirishni analitik, imitatsion va kombinatsionlarga bo‘lish mumkin.
Matematik model tushunchasi matematik modellash usulining asosiy tushunchasidir. Matematik model deb matematik belgilash yordamida ifodalanuvchi, qandaydir hodisa yoki tashqi dunyo jarayonini taxminiy tavsifiga aytiladi. Matematik modellash o‘ziga uchta o‘zaro bog‘langan bosqichlami qamrab oladi: 1) o‘rganilayotgan obyektni matematik tavsifini tuzish; 2) matematik tavsifi tenglamalar tizimini yechish usulini tanlash va modellashtiruvchi dastur shaklida uni joriy qilish; 3) modelning obyektga monandligi (adekvatligi)ni aniqlash. Matematik tavsifni tuzish bosqichida obyektda asosiy hodisa va elementlari avval ajratib olinadi va keyin ular orsidagi aloqalar aniqlanadi. Har bir ajratib olingan element va hodisa uchun uning funksiyalanishini aks ettiradigan tenglama (yoki tenglamalar tizimi) yoziladi. Bundan tashqari, matematik tavsifiga turli ajratib olingan hodisalar orasiga aloqa tenglamalari kiritiladi. Jarayon nisbatiga qarab matematik tavsif algebraik, differensial, integral va differensial tenglamalar sistemasi ko'rinishida ifoda etilishi mumkin. Yechim usulini tanlash va modellashtiradigan dastumi ishlab chiqish bosqichi mavjud usullar ichidan eng samarali (samarali deganda yechimning tezligi va aniqligi nazarda tutiladi) yechim usulini tanlash nazarda tutiladi va avval yechim algoritm shaklida, keyin esa - uni EHMda hisoblashga yaroqli dastur shaklida amalga oshiriladi.
Optimallashtirish modellari iqtisodiyotdagi jarayonlarni tadqiq etishda ko‘p uchraydi. Iqtisodiyotdagi optimal (eng maqbul, qulay) qaror qabul qilish masalalari bilan bog‘liq tarzda vujudga keluvchi jarayonlar(operatsiyalar) tadqiqi modellari matematik modellarning katta va muhim sinfini tashkil etadi. Bunday modellar iqtisodiyotdagi tashkiliy-boshqaruv va rejalashtirish masalalarini hal etishda samarali qo‘llaniladi. Iqtisodiyotdagi matematik modellarni o‘rganish va ular uchun maxsus matematik usullarning ishlab chiqilishi natijasida XX asrda matematik dasturlash, operatsiyalar(jarayonlar) tadqiqoti, qaror qabul qilish nazariyasi, o‘yinlar nazariyasi kabi matematikaning zamonaviy yo‘nalishlari paydo bo‘ldi va ular samarali tadbiqlari tufayli yanada rivojlanmoqda. Dinamik tizimlarning optimal boshqaruvi modellari – texnika, loyihalash va iqtisodiyotdagi amaliy boshqaruvda juda keng tadbiqlar sohasiga ega optimallash modellarining muhim sinfini tashkil etadi. Bunday modellarni qo‘llash L.S. Pontryaginning maksimum prinsipi va R. Bellmanning dinamik dasturlash usuliga tayanadi.
Matematik modellashtirish usulining qo‘llanilishi ko‘p bosqichli murakkab jarayondir.
Modellashtirish jarayoni zarur ma’lumotlar(faktlar), ilmiy kuzatish natijalarini yig‘ishdan va ularni tahlil etishdan boshlanadi. Modellashtirishning aniq maqsadidan kelib chiqib, bunda tadqiq etilayotgan ob’ektga xos muhim belgilar, xususiyatlarni ifodalovchi talablar, shartlar va cheklashlarni aniqlash lozim. Masalaning matematik qo‘yilishi uchun zarur o‘zgaruvchilar, parametrlar va cheklashlarni identifikatsiyalash (aniqlash) kerak bo‘ladi. Bu esa o‘rganilayotgan jarayonni sxematik ifodalash, formallashtirishga, uni matematik ifodalash mumkin bo‘lgan masalaning qo‘yilishiga – konseptual modelga olib keladi. Modellashtirishdagi navbatdagi muhim bosqich o‘rganilgan va aniqlashtirilgan ma’lumotlarni matematik tushunchalar va kattaliklar yordamida ifodalashdan iborat. Bunda ob’ekt xossalari, hodisalarning belgilovchi parametrlari va ular orasidagi matematik munosabatlar aniqlanadi. Bunda tadqiqotchi ko‘p hollarda fundamental fizik qonunlarga, masalan, massa va energiyaning saqlanish qonuniga, harakat miqdorining o‘zgarishi, elektromagnetizm qonunlariga, ehtimollar nazariyasining tamoyillariga va boshqalarga tayanishiga to‘g‘ri keladi. Bu bosqich natijasida masalaning dastlabki matematik modeli hosil qilinadi. Qurilgan matematik model korrekt, ya’ni yagonalik, turg‘unlik xossalariga ega bo‘lishi maqsadga muvofiqdir. Qo‘yilgan masalaning matematik modeli hosil qilingandan keyin uni o‘rganish va echishning matematik usullarini ishlab chiqish lozim bo‘ladi. Matematik modelni tahlil qilish asosida zamonaviy matematik apparat yotadi. Bu apparatning qo‘llanilishi barcha matematik vositalar – algebraik, differensial, integral va integro-differensial tenglamalar, ayirmali tenglamalar, to‘plamlar nazariyasi, ehtimollar nazariyasi, matematik statistika, algoritmlar nazariyasi va boshqa matematik nazariyalardan foydalanishni anglatadi. Matematik modellashtirishda muhim bosqich – hosil qilingan matematik modelning addekvatligini tekshirishdir. Masalani echish va olingan natijalarni real voqelik bilan taqqoslash jarayonida model aniqlashtirilib boriladi. Zamonaviy tezkor elektron hisoblash mashinalari – kompyuterlar va axborot texnologiyalarining paydo bo‘lishi matematik modellashtirish usulining tadbiq doirasini nihoyatda kengaytirdi va imkoniyatlarini keskin oshirdi. Hozirgi kunda matematik modellashtirish va hisoblash eksperimenti axborot-kommunikatsiya texnologiyalariga asoslangan holda o‘tkaziladigan kompyuterli modellashtirish tarzida yangi sifatli bosqichga o‘tdi. Kompyuterli modellashtirishning asosiy bosqichlari: masalaning qo‘yilishiga ko‘ra modellashtirish ob’ektini aniqlash; tizimning asosiy elementlarini va ular orasidagi aloqalarni aniqlash; masalani formallashtirish – matematik modelga o‘tish; modelga ko‘ra algoritmni va unga mos dasturni yaratish; kompyuter(hisoblash) eksperimentlarini rejalashtirish va o‘tkazish; natijalarni tahlil va interpretatsiya qilish. Kompyuterli modellashtirish analitik(sonli) va imitatsiyali modellashtirish ko‘rinishda amalga oshiriladi. Analitik modellashtirishda 15 real ob’ekt, hodisa, jarayonning algebraik, differensial va boshqa ko‘rinishdagi matematik modelidan foydalaniladi. Imitatsiyali modellashtirishda tadqiq etilayotgan tizimning faoliyat algoritmi juda katta hajmdagi elementar operatsiyalar(amallar)ni ketmaket bajarish yo‘li bilan “qayta ifodalanadi”. Bunga tizim holatining o‘zgarishi haqida muhim axborot beradigan hodisalar qatorini identifikatsiya qilish(aniqlashtirish) yo‘li bilan erishiladi. Kompyuterli modellashtirish orqali statistik eksperiment o‘tkazish imkoniyati mavjud. Bunday eksperiment ehtimoliy-stoxastik modellar uchun ayniqsa muhimdir. Kompyuterli modellashtirish o‘rganilayotgan ob’ektlar (jarayonlar) xossalarining belgilovchi omillarini aniqlash, tizimning parametrlar va boshlang‘ich shartlar bilan bog‘liqligini tekshirish imkonini beradi. Kompyuterda bajariladigan hisoblashlar eksperimentidan olinadigan natijalar ko‘lami oshmoqda, kompyuterda modellashtirish tillari va vositalaridan foydalanib modellashtirish jarayonini tezlashtirish, zarur parametrli loyihalash ishlarini bajarish imkoniyatlari kengaymoqda. Matematik modellashtirishda Matlab, Matlab + Simulink, Mathcad, Arena, AnyLogic, Star UML, GPSS World kabi amaliy dasturiy paketlardan foydalanib, murakkab texnik va boshqaruv tizimlari sintezini amalga oshirish bilan bog‘liq juda katta hajmdagi hisoblashlarni amalga oshirish, dinamik ob’ekt va jarayonlar simulyatsiyasini hosil qilish mumkin. Bu dasturiy vositalar statistik va imitatsion modellashtirishni, shu jumladan xilma-xil ommaviy xizmat ko‘rsatish tizimlarini modellashtirishni amalga oshirish imkonini beradi.