Inson va Furye transformatsiyasi

Furye qatori - bu o'zboshimchalik bilan funktsiyani ma'lum bir davrga ega bo'lgan bir qator shaklida tasvirlash. Umumiy ma'noda, ushbu echim elementni ortogonal asosda kengayishi deb ataladi. Furye seriyasidagi funktsiyalarni kengayishi, bu konvertatsiya xususiyatlari, differentsiatsiya, shuningdek, ifodani argument va konvulsiya bilan siljishi paytida o'zgarishi tufayli turli xil muammolarni hal qilish uchun juda kuchli vositadir.
Oliy matematikani, shuningdek, frantsuz olimi Furye asarlarini yaxshi bilmagan odam, ehtimol, qanday "qatorlar" va ular uchun nima ekanligini tushunmaydi. Ayni paytda, bu o'zgarish hayotimizning juda zich qismiga aylandi. Undan nafaqat matematiklar, balki fiziklar, kimyogarlar, shifokorlar, astronomlar, seysmologlar, okeanograflar va boshqalar ham foydalanadilar. Keling, o'z davridan oldin kashfiyot qilgan buyuk frantsuz olimining asarlarini batafsil ko'rib chiqaylik.
Inson va Furye transformatsiyasi
Furye qatori - Furye transformatsiyasining usullaridan biri (tahlil va boshqalar bilan bir qatorda). Bu jarayon odam har safar tovush eshitganda sodir bo'ladi. Bizning qulog'imiz ovoz to'lqinini avtomatik ravishda o'zgartiradi. Elementar zarrachalarning elastik muhitdagi tebranma harakatlari balandlik darajasi har xil balandliklar uchun ketma-ket balandlik darajasi satrlariga (spektr bo'ylab) ajraladi. Keyin miya bu ma'lumotlarni bizga tanish bo'lgan tovushlarga aylantiradi. Bularning barchasi bizning xohishimiz yoki ongimizdan tashqari, o'z-o'zidan sodir bo'ladi, ammo bu jarayonlarni tushunish uchun yuqori matematikani o'rganish uchun bir necha yil kerak bo'ladi.
Fourier Transform haqida ko'proq ma'lumot
Furye konvertatsiyasi analitik, raqamli va boshqa usullar yordamida amalga oshirilishi mumkin. Furye qatori har qanday tebranish jarayonining raqamli parchalanishini anglatadi - okean oqimlari va yorug'lik to'lqinlaridan quyosh (va boshqa astronomik ob'ektlar) faoliyatining tsikllariga qadar. Ushbu matematik metodlardan foydalangan holda siz har qanday tebranuvchi jarayonlarni minimaldan maksimalgacha va orqaga qarab ketadigan sinusoidal komponentlar qatori sifatida ifodalash orqali funktsiyalarni ajratishingiz mumkin. Furye konvertatsiyasi - ma'lum bir chastotada sinusoidlarning fazasi va amplitudasini tavsiflovchi funktsiya. Ushbu jarayon issiqlik, yorug'lik yoki elektr energiyasi ta'sirida yuzaga keladigan dinamik jarayonlarni tavsiflovchi juda murakkab tenglamalarni echishda ishlatilishi mumkin. Shuningdek, Furye seriyasi murakkab tebranuvchi signallarda doimiy komponentlarni ajratib ko'rsatishga imkon beradi, shu tufayli olingan tibbiyot, kimyo va astronomiya bo'yicha olingan eksperimental kuzatuvlarni to'g'ri talqin qilish mumkin bo'ldi.
Tarix ma'lumotnomasi
Ushbu nazariyaning asoschisi - frantsuz matematikasi Jan Batist Jozef Furye. Keyinchalik bu o'zgarish uning nomi bilan atalgan.Dastlab olim issiqlik o'tkazuvchanlik mexanizmlarini - issiqlikning qattiq jismlarga tarqalishini o'rganish va tushuntirish uchun o'z uslubini qo'llagan. Furye issiqlik to'lqinining boshlang'ich tartibsiz taqsimotini eng oddiy sinusoidlarga ajratish mumkin, ularning har biri o'zining harorati minimal va maksimal darajaga, shuningdek o'z fazasiga ega bo'lishini taklif qildi. Bundan tashqari, bunday komponentlarning har biri minimaldan maksimalgacha va orqaga qarab o'lchanadi. Egri chiziqning yuqori va pastki cho'qqilarini hamda har bir harmonikaning fazasini tavsiflovchi matematik funktsiya haroratni taqsimlash ifodasining Furye konvertatsiyasi deb ataladi. Nazariya muallifi matematik jihatdan ta'riflash qiyin bo'lgan umumiy taqsimot funktsiyasini kosinus va sinusning davriy funktsiyalarining juda qulay qatoriga tushirdi, ular birgalikda dastlabki taqsimotni beradi.
Transformatsiya printsipi va zamondoshlarning qarashlari
Olimning zamondoshlari - XIX asr boshidagi etakchi matematiklar bu nazariyani qabul qilmadilar. Asosiy e'tiroz Furyening to'g'ri chiziqni yoki uzilish egri chizig'ini tavsiflovchi uzluksiz funktsiyani uzluksiz bo'lgan sinusoidal ifodalar yig'indisi sifatida ifodalash mumkin degan fikri edi. Masalan, Heaviside-ning "qadamini" ko'rib chiqing: uning qiymati bo'shliqning chap tomonida nolga, o'ng tomonda esa. Ushbu funktsiya elektr tokining zanjir yopilganda vaqt o'zgaruvchisiga bog'liqligini tavsiflaydi. O'sha paytdagi nazariyaning zamondoshlari hech qachon bunday holatga duch kelmagan edilar, chunki uzluksiz ifodani eksponent, sinusoid, chiziqli yoki kvadrat kabi doimiy, oddiy funktsiyalar birikmasi bilan tavsiflaydi.
Frantsuz matematiklarini Furye nazariyasi bilan nima aralashtirdi?
Axir, agar matematik o'z fikrlarida to'g'ri bo'lgan bo'lsa, unda cheksiz trigonometrik Furye qatorini yig'ish orqali, shunga o'xshash ko'plab bosqichlarga ega bo'lsa ham, bosqichma-bosqich ifodaning aniq ko'rinishini olish mumkin. O'n to'qqizinchi asrning boshlarida bunday bayonot bema'ni tuyuldi. Ammo barcha shubhalarga qaramay, ko'plab matematiklar ushbu hodisani o'rganish doirasini kengaytirdilar va uni issiqlik o'tkazuvchanligini o'rganish doirasidan tashqariga chiqardilar. Ammo, aksariyat olimlar: "Sinusoidal qatorning yig'indisi uzilib qolgan funktsiyaning aniq qiymatiga yaqinlasha oladimi?"
Furye seriyasining yaqinlashishi: misol
Yaqinlashish masalasi cheksiz sonlar sonini yig'ish zarur bo'lganda paydo bo'ladi. Ushbu hodisani tushunish uchun klassik misolni ko'rib chiqing. Har bir keyingi qadam oldingisining yarmiga teng bo'lsa, siz hech qachon devorga erisha olasizmi? Maqsaddan ikki metr uzoqlikda deylik, birinchi qadam sizni yarim yo'lga, keyingi uch chorak belgisiga yaqinlashtiradi va beshinchidan keyin siz deyarli 97 foiz yo'lni bosib o'tasiz. Biroq, qancha qadam tashlamang, qat'iy matematik ma'noda ko'zlangan maqsadga erisha olmaysiz. Raqamli hisob-kitoblardan foydalanib, oxirida o'zboshimchalik bilan berilgan masofaga yaqinlashish mumkinligini isbotlash mumkin. Ushbu dalil bir yarim, to'rtdan biri va boshqalarning umumiy qiymati birlikka moyilligini namoyish etishga tengdir.
Yaqinlashish uchun savol: Ikkinchi kelish yoki Lord Kelvinning apparati
Bu savol o'n to'qqizinchi asrning oxirida, Furye seriyasidan uzilishlar va oqimlarning intensivligini taxmin qilish uchun foydalanishga harakat qilinganda yana ko'tarildi. Bu vaqt ichida Lord Kelvin harbiy va savdo flotidagi dengizchilarga ushbu tabiiy hodisani kuzatib borish imkoniyatini beradigan asbobni, analog hisoblash moslamasini ixtiro qildi. Ushbu mexanizm yil davomida ma'lum bir bandargohda sinchkovlik bilan o'lchangan suv sathining balandligi va tegishli vaqt momentlari jadvalidan fazalar va amplituda to'plamlarini aniqladi. Har bir parametr to'lqin balandligi ifodasining sinusoidal komponenti bo'lgan va oddiy tarkibiy qismlardan biri bo'lgan.O'lchov natijalari Lord Kelvin kalkulyatoriga kiritildi, u suv balandligini keyingi yil uchun vaqt funktsiyasi sifatida bashorat qilgan egri chiziqni sintez qildi. Yaqinda dunyoning barcha bandargohlari uchun xuddi shunday egri chiziqlar chizildi.
Jarayon uzilib qolgan funktsiya bilan buzilsa-chi?
O'sha paytda, ko'p sonli hisoblash elementlariga ega bo'lgan to'lqin to'lqinlarini bashorat qiluvchi ko'plab fazalar va amplitudalarni hisoblashi va shu sababli aniqroq bashorat qilishlari aniq edi. Shunga qaramay, bu muntazamlik sintez qilinishi kerak bo'lgan gelgit ifodasi keskin sakrashni o'z ichiga olgan, ya'ni to'xtab qolgan holatlarda kuzatilmaydi. Vaqt jadvalidan ma'lumotlar qurilmaga kiritilgan bo'lsa, u bir necha Furye koeffitsientlarini hisoblab chiqadi. Sinusoidal komponentlar (topilgan koeffitsientlarga muvofiq) tufayli asl funktsiya tiklanadi. Asl nusxa va qayta tiklangan ifoda o'rtasidagi tafovutni istalgan nuqtada o'lchash mumkin. Takroriy hisob-kitoblar va taqqoslashlar amalga oshirilganda, eng katta xatoning qiymati kamaymasligini ko'rish mumkin. Biroq, ular to'xtash nuqtasiga mos keladigan mintaqada lokalize qilingan va boshqa har qanday nuqtada nolga tenglashadi. 1899 yilda bu natija Yel universitetidan Joshua Villard Gibbs tomonidan tasdiqlangan.
Furye qatorlarining yaqinlashishi va umuman matematikaning rivojlanishi
Fourier tahlili ma'lum bir intervalda cheksiz ko'p portlashlarni o'z ichiga olgan iboralarga taalluqli emas. Umuman olganda, Furye seriyasi, agar asl funktsiya haqiqiy jismoniy o'lchov natijasi bilan ifodalangan bo'lsa, har doim birlashadi. Ushbu jarayonning aniq funktsiyalar sinflari uchun yaqinlashishi masalalari matematikada yangi tarmoqlarning paydo bo'lishiga olib keldi, masalan, umumlashtirilgan funktsiyalar nazariyasi. Bu L. Shvarts, J. Mikusinskiy va J. Temple kabi ismlar bilan bog'liq. Ushbu nazariya doirasida Dirac delta funktsiyasi (u nuqtaning cheksiz kichik mahallasida jamlangan bitta maydon maydonini tavsiflaydi) va Heaviside "qadam" kabi iboralar uchun aniq va aniq nazariy asos yaratildi. Ushbu ish tufayli Furye seriyasi intuitiv tushunchalar paydo bo'ladigan tenglamalar va masalalarni echishda qo'llanila boshlandi: nuqta zaryadi, nuqta massasi, magnit dipollar, shuningdek nur ustiga konsentratsiyalangan yuk.
Furye usuli
Furye seriyasi interferentsiya tamoyillariga muvofiq ravishda murakkab shakllarni oddiyroq shakllarga parchalanishidan boshlanadi. Masalan, issiqlik oqimining o'zgarishi uning notekis shakldagi issiqlik izolyatsion materialidan yasalgan turli xil to'siqlardan o'tishi yoki er yuzining o'zgarishi - zilzila, osmon jismi orbitasining o'zgarishi - sayyoralar ta'siri bilan izohlanadi. Odatda, oddiy klassik tizimlarni tavsiflovchi o'xshash tenglamalar har bir to'lqin uchun osonlikcha echiladi. Furye murakkab echimlarni topish uchun oddiy echimlarni ham umumlashtirish mumkinligini ko'rsatdi. Matematikaning tili bilan aytganda, Furye qatori ifodani harmonikalar - kosinus va sinusoidlar yig'indisi sifatida ifodalash uslubidir. Shuning uchun ushbu tahlil "harmonik tahlil" deb ham nomlanadi.
Furye seriyasi - "kompyuter asri" oldidan ideal texnika
Kompyuter texnologiyalari yaratilishidan oldin Furye texnikasi bizning dunyomizning to'lqin tabiati bilan ishlashda olimlarning qurol-yarog'ida eng yaxshi qurol edi. Furye qatori murakkab shaklda nafaqat Nyuton mexanika qonunlarini bevosita qo'llashga imkon beradigan oddiy masalalarni, balki asosiy tenglamalarni ham hal qilishga imkon beradi. XIX asrda Nyuton ilm-fanining ko'pgina kashfiyotlari faqat Fyurening usuli bilan amalga oshirildi.
Bugungi kunda Fourier seriyasi
Kompyuterlarning rivojlanishi bilan Furye transformatsiyalari sifat jihatidan yangi bosqichga ko'tarildi. Ushbu texnik fan va texnikaning deyarli barcha sohalarida mustahkam o'rnashgan. Bunga raqamli audio va videoni misol keltirish mumkin.Uni amalga oshirish faqatgina XIX asrning boshlarida frantsuz matematikasi tomonidan ishlab chiqilgan nazariya tufayli mumkin bo'ldi. Shunday qilib, Furye qatori murakkab shaklda kosmosni o'rganishda katta yutuqlarga erishishga imkon berdi. Bundan tashqari, u yarimo'tkazgichli materiallar va plazma, mikroto'lqinli akustika, okeanografiya, radar, seysmologiya fizikasini o'rganishga ta'sir ko'rsatdi.
Trigonometrik Furye seriyasi
Matematikada Furye qatori o'zboshimchalik bilan murakkab funktsiyalarni sodda bo'lganlar yig'indisi sifatida ifodalash usulidir. Odatda, bunday iboralar soni cheksiz bo'lishi mumkin. Bundan tashqari, hisoblashda ularning soni qanchalik ko'p hisobga olinsa, yakuniy natijalar shunchalik aniq olinadi. Ko'pincha kosinus yoki sinusning trigonometrik funktsiyalari eng oddiylari sifatida ishlatiladi. Bunda Furye qatori trigonometrik, bunday ifodalarning yechimi esa garmonik kengayish deyiladi. Ushbu usul matematikada muhim rol o'ynaydi. Avvalo, trigonometrik qator tasvir uchun vosita, shuningdek funktsiyalarni o'rganishni ta'minlaydi, bu nazariyaning asosiy apparati. Bundan tashqari, bu sizga matematik fizikada bir qator masalalarni echishga imkon beradi. Nihoyat, ushbu nazariya matematik tahlilni rivojlanishiga hissa qo'shdi, matematik fanning bir qator juda muhim sohalarini (integrallar nazariyasi, davriy funktsiyalar nazariyasi) vujudga keltirdi. Bundan tashqari, u quyidagi nazariyalarni rivojlantirish uchun boshlang'ich nuqta bo'lib xizmat qildi: to'plamlar, haqiqiy o'zgaruvchining funktsiyalari, funktsional tahlil va shuningdek, harmonik tahlilga asos yaratdi.