Informatika o’qitish metodikasi” kafedrasi 5110700 Informatika oqitish metodikasi bakalavriat ta’lim yo’nalishi 4

II BOB. ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI TAQRIBIY
YECHISH USULLARI.
2.1. Birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarni chekli ayirmalari usuli
bilan taqribiy yechish

Hosilaga nisbatan yechilgan quyidagi birinchi tartibli differensial tenglama

y^’= f ( x, y ) ( 2.1.1)
va uning boshlang’ich sharti
y( x₀ )=y₀ (2.1.2)
berilgan bo’lsin.
Bu yerda [a;b] oraliqni x_i nuqtalar yordamida teng uzoqlikdagi kesmalarga bo’lib chiqamiz, ya’ni oddiy tekis to’r hosil qilamiz:
w_{h =} { x_i =ih, i=1,2,3,…..,N-1}
Kesmalarning uzunliklari h bo’lsin, ya’ni
h = x₁- x₀ = x₂ - x_{1 =….=} x_n – x_n-1
Demak,
H= =
Berilgan masalani chekli ayirmali masala ko’rinishiga keltirish uchun quyidagi chekli ayirmali sxemadan foydalanishimiz mumkin:
y= - o`ng chekli ayirmali sxema.
Qo’yilgan masalaga mos chekli ayirmali masalani yozamiz:
; (2.1.3)
Bu yerda f<sub>i =</sub> f = ( x<sub>i</sub>, y<sub>i</sub> ) biz foydalangan chekli ayirmali sxemada (2.1.3) qo`yilgan masala (2.1.1 ni 0(h) aniqlikda approksimatsiyalaydi. (2.1.3) dan ko`rinib turubdiki, bizda N ta tenglamalar tizimi hosil bo`ladi :

Yuqoridagi keltirib chiqarilgan rekurrent formula (2.1.1) masalani yechimini
ShEHM larda hisoblash algoritmidan iborat bo`ladi. Bunday algoritm yordamida
(2.1.1) masalani 0(h) aniqlikdagi x<sub>0</sub> , x<sub>i</sub> ,..., x<sub>n</sub> nuqtalarda taqribiy yechimini topish
mumkin. Haqiqatdan, shu shartni bajarilishini (2.1.1) masala aniq yechimini sinash
funksiyasi yordamida ko`rish bilan tekshirish mumkin. Sinov funksiyasi tariqasida
xy^{`</sup> -2y = 2x<sup>4</sup> ni olishimiz mumkin. Ushbu tenglamani (2.1.1) masalaga qo`yib,
quyidagilarga esa bo`lamiz:
xy<sup>`} -2y = 2x³ ni o`zgarmasni variatsiyalash usulida har ikkala tomonni x ga bo`lib,
ushbu tenglikka keltiramiz:
-2 = 2 va bu tenglamani chap tomonini 0 ga tenglab, bir jinsli ko`rinishga keltirib olamiz:



=c bir jinsli qism yechildi.
yc(x) ni tenglamaga qo’yamiz: