Inersiya momenti

Inersiya momenti tenzor fizik kattalik boʻlib, oʻq atrofida aylanma harakatdagi inertlik oʻlchovidir. Jism massasining undagi taqsimoti bilan xarakterlanadi: inersiya momenti elementar massalarning asos koʻplik (nuqta, chiziq yoki tekislik) dan masofa kvadratiga koʻpaytmalari yigʻindisiga teng. Xalqaro birliklar tizimida oʻlchov birligi: kg·m² bilan be. Belgisi: I yoki J.



Butun jismni juda kichik zarralar - elementar massalarga fikran bo’lamiz. Garchi F kuch jismning biror A nuqtasiga qo’yilgan bo’lsa, uning aylantiruvchi tasiri qattiq jismning barcha zarralariga beriladi: har bir mi elementar massaga elementar aylantiruvchi Fj qo’yilgan bo’ladi (1- chizma). Nyutonning ikkinchi qonuniga ko’ra; Fi  mi ai (1) bu yerda ai - elementar massaga berilayotgan chiziqli tezlanish. Bu tenglikning ikkala qismini elementar massa chizayotgan aylananing radiusi ri ga ko’paytirib va chiziqli tezlanish o’rniga R burchak tezlanishini kiritib quyidagini hosil qilamiz:  2 i i i i Fr  m r 1 - chizma i i Mi Fr   kattalik elementar massaga qo’yilgan aylantiruvchi kuch moment ekanini nazarga olib i i i m r  J 2 (2) deb belgilab, quyidagini yozish mumkin: Fi mi i A r i r 1-чизма 55 Mi  Ji  i J kattalik elementar massaning (moddiy nuqtaning) inersiya momenti deyiladi. Demak, moddiy nuktaning biror aylanish ukiga nisbatan inersiya momentы deb, moddiy nukta massasining shu ukkacha bulgan masofa kvadrati kupaytmasiga aytiladi. Jismni tashkil qilgan barcha elementar zarralarga qo’yilgan Mi aylantiruvchi momentlarni jamlab mana bunday yozamiz:  i   i M  J (3) bu yerda Mi jismga qo’yidagi aylantiruvchi moment, ya’ni, aylantiruvchi F kuchning momenti, J  J i jismning inersiya momenti. Binobarin, jismni tashkil qilgan barcha moddiy nuqtalarning inersiya momentlari yig’indisi jismning inersiya momenti deyiladi. Endi (3) formulani shunday yozish mumkin: M = Jβ (4) (4) formula aylanish dinamikasining asosiy qonuni (aylanma harakat uchun N’yutonning ikkinchi qonunini') ifodalaydi. Jismga qo’yilgan aylantiruvchi kuchning momenti jismning inersiya momentining burchak tezlanishiga ko’paytmasiga teng. Agar aylantiruvchi moment M=const va jismning inersiya momenti J=const bo’lsa, u holda (4) formulani quyidagi ko’rinishda yozish mumkin: M=J t 0  yoki: M t  J0  J bu yerda t - jismning aylanish burchak tezligi 0 dan  gacha o’zgarishi uchun ketgan vaqt oralig’i. Mt ko’paytma (kuch impulsi singari) kuch momentining impulsi deb, J  ko’paytma (mv harakat miqdori singari) harakat miqdorining momenti, deyiladi. (5) formula harakat miqdori momentining o’zgarish qonunini (harakat miqdori qonunini o’zgarishi singari) ifodalaydi: biror vaqt oralig’ida jismning harakat miqdori momentining o’zgarishi huddi shu vaqt oralig’ida kuch momentы impulsiga tengdir. Aylantiruvchi moment, moment impulsi va harakat miqdorining momenti vektor kattalikdir; ular huddi burchak tezligi vektori singari aylanish o’qi bo’ylab parma qoidasiga muvofiq, yo’nalgandir. JISMLARNING INERSIYa MOMENТLARI 56 m massali ba’zi jismlarning simmetriya o’klari (00`) ga nisbatan inersiya momentlarini hisoblash formulalarini tayyor holda keltiramiz. 1. l uzunlikdagi ingichka sterjenning inersiya momenti (2-chizma 1.): J = 2 12 1 ml (6) 2. Bo’yi a va eni b bo’lgan brusokning inersiya momenti (2-chizma 2.): J = m 12 1 (a2 +b2 ) (7) 3. Тashqi radiusi R, ichki radiusi r bo’lgan halqaning inersiya momenti (2- chizma 3.): J= ( ) 2 1 2 2 m R  r (8)

4. Radiusi R bo’lgan yupqa devorli (chambarakning) inersiya momenti (2-chizma 4.): ] = m R2 (8) formulada r = R = R deb olib, (9) formulani chiqarish oson. 5. R radiusli disk (silindr) ning inersiya momenti (2-chizma 5.): 2 2 1 J  mR (10) (8) formulada r=0 deb olib, (10) formulani chiqarish oson. 6. R radiusli sharning inersiya momenti (2-chizma, 6.): 2 5 2 J  mR (11) Agar jismning aylanish o’qi 00' simmetriya o’qiga parallel, lekin simmetriya o’qidan d masofaga siljigan bo’lsa, parallel siljigan o’qda nisbatan inersiya momenti J' Shteyner teoremasi deb atalgan munosabat bilan ifodalanadi: J' = J + md2 (12) bu yerda J - jismning simmetriya o’qiga nisbatan inersiya momenti. Masalan, ingichka sterjenning uning uchidan o’ziga perpendikulyar o’tgan o’qqa nisbatan inersiya momenti: J`= 2 2 2 3 1 ) 2 1 ( 12 1 ml  m  ml ga teng bo’ladi.

Ilgarilama harakatni xarakterlovchi har bir fizik kattalikka aylanma harakatni xarakterlovchi bir fizik kattalik moc keladi. Masalan, chiziqli tezlikka burchak tezlik o’xshash, kuchga kuch momenti, massaga inersiya momenti va shunga o’xshash. Bu o’xshash kattaliklarni ko’rgazmali bo’lishi uchun jadvalga yozaylik: Ilgarilama xarakat Aylanma xarakat Vakt...................... t Vakt.............. t Chiziqli yo’l........ s Burchak ...........................  Chiziqli tezlik.. V Burchak tezlik.............  Chizikdi tezlanish...................... α Burchak tezlanish........ Β Kuch....................... F Kuch momenti................... M Massa .................. t Inersiya momenti........... J=△mr 2 Kuch impulsi...... Ft Kuch momentining impulsi.......................... Mt Harakat mikdori P=mv Harakat miqdori momenti........................... L=J Aylanma harakatning hamma qonunlari orasida ilgarilanma harakat qonunlarida qanday o’xshashlik bo’lsa, shunday o’xshashlik bor. Bundan foydalanib, jadval yordamida aylanma harakat miqdorining saqlanish qonuniga o’xshash qonunni yozamiz: 1 1 J + 2 2 J + 3 3 J +. . . + i i J  =const (13) Bu yerda JJ va  j - izolyatsiyalangan sistemani tashkil qiluvchi jismning inersiya momenti va burchak tezligi. (13) formula harakat miqdori momentining saqlanish qonunini ifodalaydi: izolyatsiyalangan sistemada barcha jismlarning harakat miqdori — momentlar yig’indisi o’zgarmas kattalikdir. Birgina jismdan iborat izolyatsiyalangan sistema uchun saqlanish qonuni (13) shunday yoziladi: J  = const (14) (14) formuladan jismning inersiya momenti o’zgarganda jismning aylanishi burchak tezligi o’zgaradi, degan hulosa 59 chiqadi. J ning ortishi (kamayishi) ga  ning kamayishi (ortishi) mos keladi. Biz ko’rayotgan qonunning bu natijasi odatda aylanuvchi skameyka ("Jukovskiy skameykasi") yordamida namoyish qilinadi. Qo’llari ikki yoqqa yozilgan odam Jukovskiy skameykasida turib aylanadi (3-chizma). So’ngra u qo’llarini tez tushiradi. Bunda uning inersiya momenti kamayib, aylanish burchak tezligi ortadi. Aylanma harakat qilayotgan jismning kinetik energiyasi: Wk ayl = 2 2 J (15) bo’ladi. Bu yerda J - aylanayotgan jismning inersiya momenti,  - aylanish burchak tezligi. Aylanish kinetik energiyasi hisobiga jism ish bajaradi, bu kinetik energiya kamayishiga teng:

A  (16) 60 bu yerda 0 va  - boshlang’ich va oxirgi burchak tezliklari. Agar jism ham ilgarilama, ham aylanma harakatda bo’lsa, u vaqtda umumiy kinetik energiya quyidagiga teng bo’ladi: 2 2 2 2 mv I Wk   (17) bu yerda m va J - jismning massasi va inersiya momenti, v va  - uning chiziqli va burchak tezliklari hisoblanadi. 4- chizma Moddiy nuqta impuls momenti quyidagicha aniqlanadi: L  r P  mvr (18) n  =R nuqtaning impulsi. L - impuls momenti. r - radius vektor. Impulsning z o’qqa nisbatan momenti: z Pz L  r (19) 61 yoki 2 L 1 mRv z  (20) bo’ladi.

I x y x y x y + − = (3.26) Bu (3.24), (3.25), (3.26) formulalar tekis kesimlarning buralgan o‘qlarga nisbatan inersiya momentlarini topishda keng qo‘llaniladi. 6- §. Bosh inersiya o‘qlari va bosh inersiya momentlari O‘qlarga nisbatan topilgan inersiya momentlarni (3.24), (3.25) qo‘shsak, u holda ( α α) ( α α) 2 2 2 2 cos sin cos sin 2 2 1 1 I x + I y = I x + + I y + yoki ρ I I I I I x + y = x + y = 2 2 1 1 (3.27) bo‘lib, o‘qlarga nisbatan inersiya momentlar yig‘indisi α burchakka bog‘liq bo‘lmay, u o‘zgarmasdan qolar ekan. Ammo ularning har biri alohida o‘zgarishi mumkin. Bundan quyidagicha xulosa qilish mumkin: o‘qlarni α burchakka burib shunday holatni aniqlash mumkinki, unda o‘qqa nisbatan inersiya momentlaridan biri eng katta, ikkinchisi esa eng kichik qiymatga ega bo‘ladi. Bu inersiya momentlar bosh inersiya momentlar deyilib, ular aniqlangan o‘qlar esa bosh inersiya o‘qlari deb ataladi (3.16-rasm). Agar bosh o‘qlar tekis kesimning og‘irlik markazi orqali o‘tsa, u holda inersiya momentlar – bosh markaziy inersiya momentlar, o‘qlar esa bosh markaziy o‘qlar deyiladi. Bosh o‘qlarning holatini, ya’ni x2,y2 o‘qlari bosh o‘qlar bilan ustma-ust tushadigan α 0 burchakni aniqlash uchun (3.24) yoki (3.25) lardan birortasini α burchak funksiyasi deb qarab, birinchi tartibli hosilasini olsak, u holda ( ) α α α ( ) α α α α α α α α α 2sin cos 2cos2 sin2 2 cos2 cos sin sin2 2sin cos 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 y x y x y x y x y x y x x I I I I I I I I I d d d dI + − = − − ⋅ = + − = − + hosil bo‘ladi. Bu ifodalarni soddalashtirib, uning qiymatini nolga tenglasak sin 2 cos 2 0 2 1 1 1 1 + = − α x y α x y I I I (3.28) bo‘ladi. 91 3.16-rasm. Bosh inersiya o‘qlari vaziyatini aniqlash. Bu natija (3.28) ni (3.26) bilan α=α0 bo‘lganda solishtirsak ( ) 2 0 0 1 1 0 1 = − − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = α α α α α x y x I d dI bo‘lib, ( ) 0 0 1 1 = α=α x y I kelib chiqadi. Bundan ko‘rinadiki, bosh o‘qlarga nisbatan markazdan qochma inersiya moment nolga teng bo‘lib, aksincha markazdan qochma inersiya moment nolga teng bo‘lgan o‘qlar bosh inersiya o‘qlari bo‘lar ekan. Demak, ixtiyoriy ikkita o‘zaro tik o‘qlardan biri kesimning simmetriya o‘qi bo‘lsa, y o‘q bosh o‘qlardan biri bo‘lib, kesimning og‘irlik markazi orqali o‘tuvchi simmetriya o‘qi esa bosh markaziy o‘q bo‘ladi. Endi (3.28) dan α 0 burchakni topsak u 1 1 1 1 2 2 0 x y x y I I I tg − α = − bo‘ladi (3.29) Bu yerda α0 , x1, y1 o‘qlarini bosh o‘qlar bilan ustma-ust tushishi uchun burish kerak bo‘lgan burchakni ifodalaydi. Kelgusida α ni α 0 orqali belgilaymiz. Agar α 0 burchak musbat bo‘lsa, u holda x1y1 o‘qlarini soat strelkasiga qarshi yo‘nalishda burish kerak bo‘ladi. 92 Bosh inersiya o‘qlarining biri maksimum o‘qi (unga nisbatan olingan inersiya momentining qiymati eng katta bo‘ladi), ikkinchisi esa minimum (unga nisbatan olingan inersiya momentning qiymati eng kichik bo‘ladi) o‘qidir. Maksimum o‘qi doimo (x1 yoki y1) o‘qqa nisbatan olingan inersiya momentlarning katta qiymati bilan kichik burchak tashkil etadi. Ushbu holat bosh inersiya o‘qlaridan qaysi biri maksimum, qaysinisi minimum ekanligini aniqlashga yordam beradi. Masalan, agar Iy › Ix bo‘lib, U va V bosh inersiya o‘qlari bo‘lsa (3.16-rasm), u holda U o‘qi maksimum o‘qi V o‘qi esa – minimum o‘qi bo‘ladi (chunki «y» bilan «U» orasidagi burchak β, «x» bilan «U» orasidagi α burchakdan kichik). Bosh inersiya momentlarining qiymatlarini, (ya’ni inersiya momentlarining eng katta va eng kichik qiymatlarini) topish uchun α burchakka nisbatan (3.24) va (3.25) dan birinchi tartibli hosila olib uni nolga tenglaymiz: 0; 0. 2 2 = = α dα dI d dIx y (3.30) Olingan natijadan α burchakni yo‘qotsak, u holda Imax va Imin qiymatlarini topish uchun quyidagi formula hosil bo‘ladi. ( )2 2 4 min 2 max x y xy x y I I I I I I IU V ± − + + = = (3.31) Bu yerda (+) ishora olinsa Imax, (–) ishora olinsa Imin topiladi. Tekis kesim tekisligining ixtiyoriy nuqtasidan unga mos ravishda bosh inersiya o‘qlarini o‘tkazish mumkin. Ammo konstruksiya elementlarini hisoblashda faqat kesim og‘irlik markazidan o‘tuvchi bosh o‘qlar, ya’ni bosh markaziy inersiya o‘qlari amaliy ahamiyatga ega bo‘ladi. Shuning uchun kelgusida bosh markaziy inersiya momentlarni Imax va Imin orqali ifodalaymiz. Bosh inersiya momentlariga tegishli bo‘lgan bir nechta xususiy hollarni ko‘ramiz. 1. Agar Ix= Iy va Iyx = 0 bo‘lsa, u holda koordinata sistemasini ixtiyoriy burish orqali hosil bo‘lgan o‘qlar bosh inersiya o‘qlari bo‘lib, bu holda Ix = Iy = Imax = Imin = const bo‘ladi. 2. Ikkitadan ortiq simmetriya o‘qiga ega bo‘lgan kesimlar uchun markaziy o‘qlarga nisbatan olingan inersiya momentlar o‘zaro teng bo‘ladi. 93 Bunday kesimlarga teng tomonli uchburchak, kvadrat, ixtiyoriy muntazam ko‘pburchak, doira va boshqa tekis kesimlar misol bo‘lishi mumkin. 3. Agar 2 ; 45 ' . 0 ' , 0 tg ga teng bo ladi I x I y va I xy bo lsa u holda = ∞ = = ≠ α α Bu holda bosh o‘qlar inersiya momentlari aniqlangan xy o‘qlariga nisbatan 450 burilgan bo‘ladi. 7- §. Murakkab tekis kesimlar bosh markaziy o‘qlarining holatini va bosh markaziy inersiya momentlarini aniqlash Aksariyat hollarda tekis kesimlarning geometrik xarakteristikalarini aniqlashda bosh markaziy o‘qlarning holatini va bosh markaziy inersiya momentlar qiymatlarini topish hisoblashning asosiy maqsadlaridan biri bo‘ladi. «Sodda» kesimlar uchun ushbu ma’lumotlarning qiymatlari yuqorida keltirilgan formulalar yordamida topiladi. Standart po‘latli prokat profillar uchun inersiya momentlarining qiymatlari sortament jadvallarida keltirilgan bo‘ladi. Sodda shakllar yig‘indisidan iborat bo‘lgan murakkab kesim uchun ushbu xarakteristikalarni quyidagicha aniqlash maqsadga muvofiq: 1. Murakkab tekis kesimlarning geometrik xarakteristikalarini aniqlash uchun ularni oldindan ma’lum bo‘lgan formulalar, qonuniyatlar yoki jadvaldan aniqlash mumkin bo‘lgan bir nechta sodda bo‘laklarga ajratiladi. Murakkab kesimni sodda bo‘laklarga ajratish usuli yakuniy natijaga ta’sir etmasligini 3-§ da ko‘rdik. 2. Murakkab kesim (2-§da ko‘rsatilgandek) og‘irlik markazining holati aniqlanib, bu nuqtadan ixtiyoriy xc, yc markaziy o‘qlarni o‘tkazamiz. Bu xc, yc o‘qlar murakkab kesim uchun bosh o‘qlar bo‘lmaydi, lekin bu o‘qlar murakkab kesimni tashkil etuvchi sodda kesimlarning bosh markaziy o‘qlarining ko‘pchiligiga parallel bo‘lishi kerak. 3. Tanlab olingan xc, yc markaziy o‘qlarga nisbatan sodda kesimlarning, keyin murakkab kesimning inersiya momentlarini I I I x y x y c c c c , , shu sodda kesimlar inersiya momentlarining yig‘indisi sifatida topamiz.