Imkoniyatiga ega emasmiz

Matematik induksiya metodini tadbiqlari.

Har bir fanni egallash undagi turli-tuman faktlarni, asosiy qonuniyaylarni bilib olish bilan birga shu fandagi tadqiq qilish metodlarini o’zlashtirishni ham taqozo qiladi. Qadimiy va navqiron matematika fanda ham u o’rgana- digan ob’ektlarni, qonuniyatlarini ochuvchi qator metodlar yaratilgan. Ularning ba’zilari muayyan masalalar uchun mahsus yaratilgan bo’lsa, umummatematik ahamiyatga egadir.

Ana shunday umumiy harakterdagi metodlarni mukammal egallash matema- tika fani sohasida yaxshi mutahasis bo;lishning, uning ichki sirlarini anglab yetishning zaruriy shartidir.

Matematik induksiya metodi matematikaning turli tuman, hatto bir biridan juda olis sohalarida muvafaqiyat bilan keng qo’llaniladigan metoddir. Avvalo bu metod o’zining juda sodda bo’lgan g’oyasi bilan e’tiborga sazovordir. Ik- kinchidan, bu metod isbotlanayotgan gipotezaning yoki teoremaning aniq bayonini keltirishda ma’lum “topog’onlik” ni talab etishi bilan ham harakter- lidir.

Matematik induksiya elemental matematikaning barcha sohalaridagina emas, balki hozirgi zamonaviy matematikaning turli bo’limlarida ham yangi-yangi faktlarni isbot qilishning muhim omilidir.

Matematik induksiya metodi biror-bir tasdiqni hosil qilish usuli emas, balki berilgan tasdiqni isbotlash usuli ekanligini eslatib o’tamiz. Bu metod- ning qo’llanishiga doir misollar ko’rib chiqamiz.

1-misol. N ning barcha natural qiymatlarida ifodaning qiymati 6 ga bo’linishini isbotlang.

Isbot. Matematik induksiya metodini qo’llaymiz.

1. 
   
   n=1 bo’lsin. U holda
   

ga ega bo’lamiz. 12 soni 6 ga bo’linadi.

2. 
   
   n=k bo’lsa, ifodaning qiymati soniga teng
   

bo’ladi. Bu son 6 ga bo’linadi deb faraz qilamiz.

N=k+1 da. Ushbu
ifoda 6 ga bo’linishini isbotlaymiz. Bining uchun yuqoridagi ifodadagi qavs- larni ochib chiqamiz va quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi.

Farazimizga ko’ra, soni 6 ga bo’linadi. Ketma-ket keluvchi ikkita natural sonning ko’paytmasi bo’lgan soni 2 ga bo’lingani uchun,

soni 6 ga bo’linadi. Shuning uchun
soni 6 ga bo’linadi.

Demak n ning barcha natural qiymatlarida ifoda 6 ga bo’linadi.

Matematik induksiya metodi degan nom bir oz noqulayroq tanlangan bo’lib, uning induksiya metodi bilan hech qanday umumiyligi yo’q.

Matematika induksiya metodi – deduktiv metod, u induktiv mulohazalar yor- damida aniqlangan tasdiqlarning qat’iy isbotini beriladi yoki uni qat’iyan rad etadi.

Bu metodnimg asosini aniqlaylik. Metematik induksiya bilan isbotlaganimiz-da: agar biror A(n) tasdiq n=1 uchun o’rinli bo’lsa, n=k uchun A(n) tasdiqni

to’g’ri deb faraz qilib, n=k+1 uchun uning to’g’riligini isbotladik va shundan so’ng aytilgan A(n) tasdiq istalgan n natural son uchun to’g’ri deb xulosa qil- dik. Bu mulohazalardan, agar A(n) tasdiq n=1 da to’g’ri bo’lsa u n=2, n=3 va hokazolar uchun o’rinli bo’ladi, demak, u barcha n natural sonlar uchun to’g’ri bo’ladi. Bu yerda natural sonlar tushunchasi o’z-o’zidan ayon, izoh talab qilmaydigan tushuncha deb hisoblangan edi. Ammo hozirgi zamon matematikasida o’z-o’zidan ayon tushunchalardan foydalanilmasadan, har qanday tushuncha avvaldan ma’lum tushunchalar yordamida aniqlangan bo’li- shi yoki aksiomatik kiritilishi kerak.

Arifmetika uchun bunday boshlang’ich tushunchalar birlik, natural son va “bundan keyin keladi” tushunchalari bo’lib, bu tushunchalarning asosiy hossa-lari - Peano aksiomalaridir.

Bu aksiomalar natural son tushunchasini aniqlashga bag’ishlanadi.