Ilm sahroda do’st, hayot yo’llarida tayanch, yolg’izlik

S = R

p lg (1+i) 
S = P (1+i)
n
, lg S = lg P

n lg (1 +i) 
n
S
P
i



lg(
)
1
 
Bu  erda: 
S  –
  pulning  oxirgi  summasi; 
R
  –  pulning  boshlang’ich  summasi; 
i
  – 
daromadlilik foizi; 
n
 – qo’yilma davri (yillar soni). 
Misol
.  10  mlrd. so’m  pul bor.  Shu  pulni  30  yil  muddatga  joylashtirishga  qiziqish 

---

 
52 
paydo  bo’ldi.  Faraz  qilaylik  bank  foizi  5%  (yillik)  tashkil  qiladi.  Savol  tug’iladi:  30 
yildan keyin 10 mlrd. so’m nimaga aylanadi? 
Murakkab foizlar formulasini qo’llab, quyidagiga ega bo’lamiz: 
S = 10 (1+0,05)
30 
 
Agar logarifmlasak: 
S = 10 · 30 Ig 1.05 = 46 356 790 ming so’m. 
Shu  asoslar  yordamida  aktuar  hisoblarda  yana  bir  qancha  masalalar  echish 
mumkin. Masalan, o’rtacha yillik o’sish sur’atlarini aniqlash mumkin. 
Misol
.  10  mlrd.  so’m  25  yildan  keyin  26,6  mlrd.  so’mga  etdi.  Har  yil  o’rtacha 
yillik o’sish sur’ati necha foizni tashkil qildi?  
Javob: 
 
 
 lgS=lgP25 lg (1 + i) 
 
 
 
 
25
1
100
25
lg(
)
lg
lg



P
S
P
  yoki boshlang’ich 
ma’lumotlar bo’yicha 
 
lg ,
lg ,
,
26 6
10 0
25
0 040333


 
(1+i)-1,0 =(1,0+0,04)-1,0 = 0,04 yoki 0,04

100 = 4%.  
Demak o’rtacha yillik ko’shimcha o’sish sur’ati 4% ni tashkil qilgan ekan. 
Taqribiy  hisoblarda  ham  logarifmlashdan  keng  foydalaniladi.  Masalan,  quvib 
o’tish yoki etib olish koeffitsientlarini hisoblashda. 
Misol
. Bir mamlakat (R) ikkinchi mamlakatga (A) necha yilda etib oladi, agarda R 
mamlakatning  boshlang’ich  iqtisodiy  darajasi  1  ga,  A  mamlakatning  esa  -  2  ga  teng 
bo’lsa.  Birinchi  mamlakatda  o’rtacha  qo’shimcha  o’sish  darajasi  4%  ni,  ikkinchisida  - 
3% teng. 


n
n
n
n
)
03
,
1
(
2
04
,
1
;
03
,
0
1
2
100
4
1
1








 

 
n lg 1,04 = lg2 + n lg1,03;  n(lg(1,04-lg1,03)-lg2; 
n





2
1 04
1 03
0 30103
0 01703 0 01284
71 84
lg ,
lg ,
,
,
,
,
 
Demak 71,84 yildan keyin R mamlakati A mamlakatiga etib oladi. 
Shuni esda tutish kerakki, agar hisob-kitob qilinadigan davr bir yildan ortiq bo’lsa 
murakkab  foizlar  bilan  hisoblangan  ustama  summa  oddiy  foizlar  bilan  hisoblangan 
summaga nisbatan kam bo’ladi, agarda hisob davri bir yildan kam bo’lsa teskarisi. 
Misol
.  10  mln.  so’m  5%  (yillik)  oddiy  foizlar  bilan  6  oydan  keyin  10.250  ming 
so’mga etadi, murakkab foizlar bilan esa - 10.247 ming so’mga. Bir yildan keyin ikkala 
hodisa  uchun  ham  oxirgi  summa  10,5  mln.  so’mni,  100  yildan  keyin  esa  u  murakkab 
foizlarda - 131,5, oddiy foizlarda bor yug’i 50 mln. so’mga etadi. 
Odatda  banklar  va  boshqa  moliyaviy  tashkilotlar  aktuar  hisoblarda  qo’shilish 
sur’atlarini  tayyor  jadvallaridan  foydalanishadi.  Jadvallarda  qo’shilish  sur’atlari  0,5  to 
21% (yillik) gacha berilgan bo’ladi. 
Quyida biz shu jadvallarda namunalar keltiramiz. Qo’yilmalar 5% yillik daromad 
bilan bir yildan kam va ko’p davrga berilgan. 
2.1-jadval 
Bir yildan kam davrga va 5% daromad bilan qo’yilmaning  
(1,0 mln. so’m) oxirgi to’lanadigan summasi (ming so’m) 

---

 
53 
Qo’yilmaning uzunlik 
vaqti 
Oddiy foizlarda 
Murakkab foizlarda 
Farqi 
1 oy 
1004,2 
1004,2 
0,0 
2 oy 
1008,3 
1008,2 
0,1 
3 oy 
1012,5 
1012,7 
0,2 
4 oy 
1016,7 
1016,4 
0,3 
5 oy 
1025,1 
1024,7 
0,4 
 
2.2-jadval 
Bir yildan ko’p davrga va 5% daromad bilan qo’yilmaning  
(1,0 mln. so’m) oxirgi to’lanadigan summasi (ming so’m) 
Qo’yilmaning 
uzunlik vaqti 
Oddiy foizlarda 
Murakkab foizlarda 
Farqi 
2 yil 
1100,0 
1102,50 
-2,50 
3 yil 
1150,0 
1157,62 
-7,62 
5 yil 
1250,0 
1276,28 
-26,28 
10 yil 
1500,0 
1628,89 
-128,89 
50 yil 
3500,0 
11467,40 
-7967,40 
100 yil 
6000,0 
131501,26 
-125501,26 
 
Misol
.  36,0  mln.  so’m  nominal  qiymati  va  5%  (yillik)  daromad  bilan 
diskontlangan  veksel  bankda  qoplash  muddatidan  8  oy  oldin  hisobga  olinadi.  Oddiy 
foizlar: 1,2 (5

8

36/12) mln. so’m. Bank qaysi baho bilan vekselni sotib oladi va diskont 
summasi qanchaga teng bo’ladi?  
Sotib olish bahosi (bank uchyoti bo’yicha): 
36 (1 - 8/12 

 0,05) = 34812000 so’m. 
Matematik  diskontlashda  skidka  nominal  qiymatdan  emas,  balki  oshgan  hisob 
foizidan qilinadi. 8 oyga hisob foizi teng: 3,3% (5

8/12). 
Aktuar hisoblarda olinadigan manfaat yoki daromad faqat bitim mazmuniga emas, 
balki  hisoblash  metodini tanlashga ham  bog’liq.  Har  xil usulda  hisoblangan  manfaat  va 
daromadlar  o’rtasidagi  farq  juda  sezilarli  bo’ladi.  Shuning  uchun  shartnoma  va 
kontraktlarda  manfaat  va  daromadni  summasi  yoki  xissasi  ko’rsatishdan  tashqari,  shu 
ko’rsatkichlarni  hisoblash  metodi,  texnikasi  va  texnologiyasi  alohida  ta’kidlansa 
maqsadga muvofiq bo’ladi. Quyidagi raqamlarga e’tibor bering. 
Bank  uchun  tijorat  uchyoti  foydali  (olinadigan  daromad  summasi  1,2  mln.  so’m, 
vekselni  sotib  olish  bahosi  34,8  mln.  so’m),  mijozga  -  matematik  uchyot  (skidka 
summasi  50  ming  so’mga  kam,  sotish  bahosi  34850  ming  so’m).  Janjalli  holat.  Bu 
holatdan  chiqishning  yagona  yo’li  shartnoma  yoki  kontraktda  vekselni  uchyotga  olish 
metodini  belgilashdir.  Ya’ni,  skidka  (3,3%)  matematik  usul  bilan  diskontlashda  100 
so’mdan  emas,  balki  103,3  so’mdan  hisoblanadi.  U  paytda  vekselni  sotib  olish  bahosi 
quyidagiga bo’ladi: 
36
1
8 12
0 05
34849952
(
/
,
)



 so’m 
Skidka summasi (matematik diskontlash) 

---

 
54 
36
1
8
12
0 05
3 3
1150
(
/
,
)
,




 
ming so’m  
Uzoq  muddatli  veksel  hisoblarida  vekselni  ushlovchi  o’zini  ayrim  manfaatlaridan 
judo  qiladi.  Masalan,  olingan  qarzni  vekselni  qoplash  muddati  kelguncha  ishlatishni 
olsak.  Bu  holatda  u  kishi  ma’lum  bir  davrga  o’z  kapitalini  muzlatilgan  holatda  ushlab 
turadi.  Bunday  paytlarda  veksel  ushlab  turuvchilar  foizga  foiz  hisoblashni  ko’shimcha 
sxema  va  usullariga  murojaat  qilishadi.  Shunday  sxemalarni  eng  ko’p  tarqalganlaridan 
bir  rekambiyadir.  (Bu  erda  o’quvchini  birjalarda  qo’llanadigan  rekambiya  termini  bilan 
almashtirmaslikni  ta’kidlamoqchimiz.  Birja  bozorida  veksel  qaytadan  savdoga  kirsa 
kurslar  o’rtasida  farq  paydo  bo’ladi,  bu  farqlar  birja  tilida  rekambiya  deyiladi  yoki 
regrezientni  regressatga  teskari  talabi  deb  ataladi.  Bu  termin  "qora"  kunlarda  (kurslar 
keskin tushib ketishi) juda ko’p ishlatiladi. Bu hodisani chuqurroq o’rganmoqchi bo’lgan 
o’quvchilarga:  «Birja  iqtisodiyoti»,  «Birja  statistikasi»  kabi  darsliklarini  o’qishni  taklif 
qilamiz). 
Rekambiya  metodida  foizlarga  bo’lgan  foizlar  odatda  n  majburiyati  to’lovlari 
summasidan ajratiladi. To’lovga mo’ljallangan summa (U) quyidagicha hisoblanadi. 
U = p - x - z                   
 
Aktuar  hisoblarda  progressiv  stavkalar  ham  keng  qo’llaniladi.  Yillik  5%  va  7% 
dekursiv  stavkalardan  foydalanib  10  va  26  oy  uchun  arifmetik  va  geometrik 
progressiyalar o’rtasidagi farqni hisoblaymiz. 
5%  (yillik)  dekursiv  stavka  bilan  10  oydan  keyin  oddiy  protsentlarda  4,17  (5 

 
10/12),  murakkab  protsentlarda  esa  4,13  (10/12 

  Ig  1,05).  26  oydan  keyin  esa  sharoit 
quyidagicha o’zgaradi: oddiy protsentlarda 11,08 (5 

 26/12), murakkab foizlarda - 11,14 
(26/12 

  Ig  1,05).  Stavkalarni  o’sishi  bilan  farq  kattalashib  boradi.  Quyidagi  jadval 
ma’lumotlaridan ko’rinib turibdiki 5%dan 7%ga o’tilsa farq yana ham yaqqollashadi: 
 
 
Oddiy foizlar 
Murakkab foizlar 
10 oy  
26 oy 
6,3  
15,1 
5,3 
 16,8 
Yuqoridagi  tahlil  qilingan  aktuar  operatsiyalar  muhim  ahamiyat  kasb  etishiga 
qaramasdan  keyingi  paytlarda  aktuar  hisoblarni  boshqa  turlari  kengroq  rivojlanmoqda. 
Masalan,  uzoq  muddatli  qarzlar,  fyuchers  va  foreks  bitim  (chet  davlatlar  valyutalari 
sotish va sotib olish), ko’chmas mulk bilan bog’liq bo’lgan va boshqa operatsiyalar. 
Ayrim  aktuar  hisoblar  (masalan,  qimmatli  qog’ozlar  va  derivativ)  o’yinga 
o’xshatiladi (umuman olganda hamma moliyaviy hisob-kitoblarni o’yin deyish mumkin). 
Bu o’yinlarni nazariyasi mukammal ishlab chiqilgan. O’yinlarni mazmuni  quyidagicha.  
Partnerlar  kontragentlar  rolini o’ynaydi. Olinadigan va beriladigan stavkalar manfaat va 
boy  berilgan  mablag’  sifatida  qaraladi.  Boshida  manfaat  va  boy  berishni  matematik 
kutilishi teng deb qaraladi. Keyinchalik natijalar shunday o’zgaradiki bir tomon ko’proq 
manfaat  ko’radi  (masalan,  sug’urta  operatsiyalarida  sug’urta  tashkiloti  ko’proq  manfaat 
ko’rishi  mumkin  yoki  teskarisi).  Buning  o’zi  aktuar  hisoblarni  qiyinlashtiradi,  chunki 
tenglamaga  vaqt  bo’yicha  o’zgaruvchi  ehtimollar  qo’shiladi  -  qimmatli  qog’ozlarni 
belgilangan tirajda chiqishi, o’yin yutuqlarini qoplash, kishilarni ma’lum bir yoshga etib 
borishi (umrning uzunligi) va boshqa fors-major sharoitlari. 
Bu  masalalar  oliy  moliyaviy  hisob-kitoblarni  asosi  bo’lishiga  qaramasdan  moliya 
statistikasi dasturida to’liq ko’rib chiqish ko’zda tutilmagan. Shu sababli bu masalalarga 

---

 
55 
qiziquvchilar maxsus adabiyotga murojaat qilishlar mumkin. 
Yuqorida  ta’kidlanganidek,  uzoq  muddatli  moliyaviy  operatsiyalar  murakkab 
foizlarga  asoslanadi.  Oddiy  foizlar  n  >  1  uchun,  odatda  qo’llanilmaydi,  chunki  ular 
qarama-qarshi xulosalarga olib kelishi mumkin. 
Misol
.  Faraz  qilaylik,  kontsession  bitim  tuzilishi  kerak.  Bir  kompaniya  (U
1
)  10 
yildan  keyin 123,0 mln. so’m to’lashni mo’ljallayapti, ikkinchisi (U
2
) 150,0 mln. so’mni 
- 15 yildan keyin. Kimni taklifi manfaatli? 5% oddiy foiz bilan bu takliflarni baholaymiz.  
 
0
,
82
05
,
0
10
1
123
1



