Ilm-fan va texnologiyasida lazerlarning ahamiyati. Lazer fizikasining rivojlanish tarixi va bosqichlari. Eynshteyn, ishlab chiqaruvchi, Basov, Proxorov, Towns va Meiman tadqiqotlari. Lazer fizikasiga kirish

LAZER FIZIKASINING RIVOJLANISH TARIXI VA BOSQICHLARI. EYNSHTEYN, ISHLAB CHIQARUVCHI, BASOV, PROXOROV, TOWNS VA MEIMAN TADQIQOTLARI

Lazer qurilmalari ko'pincha optik kvant generatorlari deb ataladi. Lazerlar — yorug'lik nurlanishining kuchayishi, shu jumladan elektromagnit nurlanish energiyasi asosida yaratilgan radiatsiya manbalari va o'ziga xos xususiyatlarga ega. Ularning ishi atom va molekulalarning majburiy nurlanishiga asoslangan elektromagnit tebranishlarni kuchaytirish g'oyasiga asoslangan.

Eynshteynning nisbiylik nazariyasi va taniqli fizikaning asoschilaridan biri bo'lgan asarlari keng tarqalgan, ammo boshqa ikkita ilmiy ish mavjud [5], 1916 da chop etilgan, mutaxassislarning fikriga ko'ra, kvant elektronikasining asosini tashkil etadi. Birinchi - "Kvant nazariyasi emissiyasi va emissiyasi", ikkinchisi - "nurlanishning kvant tabiati to'g'risida". A. Eynshteyn nurning yangi kvantlarining moddaning atomlari bilan o'zaro ta'siri va nurning ba'zi kvantlari yo'qolishi bilan bog'liqligini taxmin qildi, unda atom va molekulalardan tashkil topgan muhit nazariy jihatdan o'ziga xos sharoitlarda unga tushadigan nurlanishni absorbe qilish, tarqatish va kuchaytirishi mumkin edi.
Atrof muhitda hosil bo'lgan radiatsiya Eynshteyn o'z-o'zidan (o'z-o'zidan radiatsiya) va majburiy (stimulyatsiya qilingan yoki indikatsiyalangan) radiatsiya deb atagan. A. Eynshteyn davrida, bu asarlarda ularga taqdim etilgan g'oyalar kelajakdagi kvant elektronikasining asosi bo'lib, universal kashfiyot - lazerlarni yaratish uchun asos bo'lib xizmat qilishini tasavvur qilish qiyin edi. O'n yillar o'tgach, olimlar Eynshteynning majburiy radiatsiya haqidagi g'oyalari nafaqat ilmiy haqiqat, balki muayyan sharoitlarda ham katta amaliy ahamiyatga ega bo'lgan. Lazer nurlanishining asosini tashkil etuvchi bu jarayon. "Lazer" so'zi ingliz tilidagi "stimulyatsiyalangan radiatsiya emissiyasi bilan nurli amplifikatsiya" iborasidan kelib chiqadi, bu "majburiy nurlanish yordamida yorug'likni kuchaytirish"deb tarjima qilinadi.
Yorug'lik nurlanishining moddalar atomlari va molekulalari bilan o'zaro ta'siri, shuningdek, majburiy nurlanishning xususiyatlari haqida sovet olimi V. A. doktorlik dissertatsiyasida ishlab chiqaruvchi gaz oqimlarining spektrlarini tahlil qilib, majburiy nurlanish yordamida nurni kuchaytirishi mumkinligini ko'rsatdi. U gazda elektr toki bilan inversiya holatini (chiziq) yaratish mumkinligini aytdi. Tarixiy jihatdan, lazerni yaratish muayyan olim yoki mamlakatga taalluqli emas, u ko'p yillar davomida olimlarning ilmiy kuzatuvlari va ilmiy tadqiqotlarining avj nuqtasi sifatida paydo bo'lgan.
Radiatsiyani kuchaytirish usuli dastlab radio diapazonida, yoki aksincha, juda yuqori chastotalar (mikroto'lqinli) oralig'ida majburiy nurlanish yordamida amalga oshirildi. May oyida 1952 sovet olimlari Proxorov va N. G. Basov radiospektroskopiyasi bo'yicha umumittifoq konferentsiyasida RMS oralig'ida ishlaydigan radiatsiya generatorlarini yaratish imkoniyati haqida so'zlab, ularda ammiak molekulalarining to'plamidan foydalanishni ko'rsatib, ularni chaqirdi "molekulyar generatorlar". Shu bilan birga, Kolumbiya universitetining amerikalik fizigi Ch Townes, kanadalik olim JK. Weber millimetr oralig'idagi to'lqinlarni ishlab chiqarish va kuchaytirish uchun majburiy nurlanish usulidan foydalanishni taklif qildi. Ko'p o'tmay, 1954 da, bir vaqtning o'zida, sobiq Ittifoq fanlar Akademiyasi PN Fizika institutida. P. N. Lebedev am Proxorov va N. G. Basov rahbarligida, shuningdek Kolumbiya universitetining amerikalik fizigi Ch. Towns rahbarligida mazer deb nomlangan birinchi molekulyar generator yaratildi. "Lazer" so'zi xat yozilganda ixtiro qilingan "M "harfi" L " harfi bilan almashtirildi ("m" harfi Mikrodalgalar degan ma'noni anglatadi va "lazer" atamasi "L" harfi "nur"degan ma'noni anglatadi). . Mazer va lazerning ishlash printsipi asosan bir xil, u 1951 da ishlab chiqilgan va ishlab chiqaruvchi tomonidan tasvirlangan qoidaga asoslanadi.
1955 yildan 1957 yilgacha N. G. Basov va A. M. Proxorov, shuningdek, amerikalik olimlar Ch. Towns va A. optik diapazonda ishlaydigan Shavlov kvant generatorlarini yaratish imkoniyatini ilmiy asoslangan. 16 may 1960, amerikalik fizik va muhandis T. j. Meiman Safir kristalli faol moddalar sifatida ishlatiladigan birinchi qattiq davlat lazer qurilmasini yaratdi. Ushbu lazer qurilmasi qizil spektral radiatsiya hosil qiluvchi impuls rejimida ishladi. Xuddi shu yili amerikalik olim A. Javan rahbarligida birinchi gaz lazeri yaratildi. 1964 da Ch. Towns, N. G. Basov va A. M. Proxorov birgalikda fizika bo'yicha Nobel mukofoti bilan "kvant elektronikasi sohasidagi fundamental tadqiqotlar, lazer printsipida generatorlar va kuchaytirgichlarni yaratish uchun asos yaratdi".
Qattiq holatda (kristalli) lazerlardan so'ng yarimo'tkazgich, kimyoviy va boshqa turdagi lazer qurilmalari paydo bo'ldi. Optikaning rivojlanishi bilan biz "lazerlar" davriga kirdik. Ilm-fanning yangi bo'limi-lazer qurilmasini, ularning ishlash tamoyilini va moddaga lazer nurlanishining ta'siri ostida yuzaga keladigan jarayonlarni o'rganadigan kvant elektronikasi paydo bo'ldi. Uning asosiy vazifalaridan biri lazer qurilmalarining yangi turlarini yaratish va lazer nurlanishini amaliy maqsadlarda qo'llashdir.
Lazer texnologiyasi paydo bo'lgach, u boshqa sohalarda mutaxassislar bilan qiziqdi. G'alati xususiyatga ega lazer nima, bu har bir kishi uchun jozibador bo'lib, inson uchun qanday foyda keltiradi? Akademik N. G. Basov lazer asbobini yaratuvchilaridan biri shunday javob beradi: "lazer, masalan, kimyoviy, issiqlik, elektr energiyasi elektromagnit energiyaga aylantirilgan qurilma. Bunday holda, ishlab chiqarilgan energiyaning bir qismi muqarrar ravishda yo'qoladi, ammo muhim narsa shundaki, hosil bo'lgan lazer energiyasi misli ko'rilmagan darajada yuqori sifatga ega bo'ladi. Lazer energiyasining sifati uning yuqori kontsentratsiyasi va uzoq masofalarga erishish qobiliyati bilan tavsiflanadi. Lazer nurini bunday energiya zichligini yaratish uchun kichik nuqtada joylashtirish natijasida bu nuqta hozirgi yadroviy portlashdan yuqori portlash kuchiga ega bo'lishi mumkin. Magnit maydondagi maksimal harorat, bosim va kuchlanish lazer nurlanishi orqali erishiladi. Nihoyat, axborot uzatishda lazer nurlanishining roli ham katta. Lazer-yorug'likning yuqori darajasiga ega bo'lgan monoxromatik izchil yorug'lik manbai. Uning kogerentligi monoxromatik yuqori darajada namoyon bo'ladi, bu erda Dn \ n ≈ 10^-6 ÷ 10^-8 (Dn - yorug'lik nurining tarqalishi (kesish) chastotasi, n - chastotaning o'rtacha qiymati), alohida operatsiyalar yordamida 10^-10 ga uzatilishi mumkin. Lazer nurining to'lqin uzunligi mikrometrlaridagi yuqori koherentligini o'lchashda millimetrda o'lchangan nurning diafragma diametri uning burchak tarqalishidagi (iste'mol) farq 10^-3 rad ekanligini ko'rsatadi. Lazer nurlanishi nafaqat uning mustahkamligi, balki kosmosdagi yorug'lik energiyasining juda yuqori kontsentratsiyasi bilan ham ajralib turadi. Misol uchun, kam quvvatli geliy-neon lazerlaridan tashqari (10^-3 ÷ 10^-2 Vt quvvatga ega), shuningdek, 1 kVt va undan yuqori yorug'lik quvvatini uzluksiz ishlab chiqarish (ishlab chiqarish) qobiliyatiga ega juda kuchli CO₂ lazerlari mavjud. 1 mm diametrli uning zichligi 105 Vt/sm² bo'lsa, bu qiymat diqqat markazida qo'shimcha ravishda oshirilishi mumkin. Bunday zichlik nafaqat erishi, balki ko'plab materiallarni bug'lashi mumkin, taqqoslash uchun sirtdagi quyosh nurlarining o'rtacha qizg'inligining sirt qiymati 0,1 Vt / sm² ga teng.
LAZER FIZIKASIGA KIRISH
Lazer qurilmasini va ulardagi hodisalarni o'rganishdan oldin, yorug'lik ta'sirida yuzaga keladigan jarayonlarni moddaga qarab ko'rib chiqing. Tabiatdagi barcha moddalar, ular qanday agregat holatida bo'lishidan qat'i nazar, ularda mavjud bo'lgan atomlar va molekulalar doimo doimiy tebranish va aylanishda bo'ladi. Atomlardagi elektronlar bir orbitadan ikkinchisiga o'tish natijasida tarqaladi yoki so'riladi, boshqacha aytganda, bunday tizimlarda energiya almashinuvi jarayoni sodir bo'ladi. Kvant radiatsiya nazariyasiga ko'ra, elementar elementlarning (atomlarning) energiyasi faqat pog'ona bilan o'zgaradi, yorqin energiya ma'lum bir nurlanish chastotasi uchun ma'lum bir doimiy qiymat bilan ko'paytirilishi mumkin. Ma'lumki, yorqin energiyaning minimal "qismi" kvant energiyasi deb ataladi. Kvant atamasi quyidagicha talqin qilinishi mumkin. Doimiy chiziqdagi radiatsiya chastotasi mahsuloti kvant energiyasi deb ataladi. Bu Е = hn,bu erda h = 6,6 • 10^-34 J • S. Yorug'lik kvantlari odatda fotonlar deb ataladi, shuning uchun radiatsiya intensivligi foton oqimidan iborat deb aytish mumkin. Foton ikki tomonlama xususiyatga ega, u ham korpuskulyar, ham to'lqin xususiyatlarini ko'rsatadi, shuning uchun u ham impulsga ega: P = hn/c, bu erda c = 3•108 m/s vakuumda yorug'lik tarqalish tezligi. Yuqoridagi formulalar kvant yorug'lik nazariyasining eng muhim va oddiy formulalari bo'lsa-da, ular murakkab ob'ektlardagi yorug'lik jarayonlari bilan bog'liq ko'plab hodisalarni aniq tushuntirishlari mumkin. Shunday qilib, elementar emitentlar energiya va impuls bilan ifodalanadi. Fotonlar oqimi modda atomlari bilan to'qnashadi va ularga energiya beradi, bu esa atomlarning qo'zg'alishiga olib keladi. Bu holda, agar atomlarda elektronlar tebranishining o'ziga xos chastotasi ularga tushadigan yorug'lik nurlarining chastotasiga mos keladigan bo'lsa, bunday shovqin juda kuchli (rezonans) bo'ladi, atomlar va molekulalar nurning ikkinchi darajali kvantlari bo'ladi. Radiatorlar. Energiya almashinuvi yorug'lik molekulalar va atomlar bilan o'zaro ta'sirlanganda sodir bo'ladi. Shu bilan birga, ma'lum miqdorda yorug'lik kvantlari yo'qoladi va yangilar paydo bo'ladi. Energiya tejash qonuniga ko'ra, yorug'likning mikrosistemalar (molekulalar va atomlar) bilan o'zaro ta'siri uch turga bo'linishi mumkin. Birinchi turdagi shovqinda mikrosistemalarda yorug'lik kvantlarining to'liq emishi kuzatiladi — bu mikrosistemaning energiyasini oshiradi. O'zaro ta'sirning ikkinchi turi bilan yorug'lik energiyasining qisman emishi sodir bo'ladi. Energiyaning qolgan qismi tarqaladi. Uchinchi holatda, energiyaning emishi mikrosistemaning nur nurlanishiga sarflanadi va yorug'lik nurlari kuzatiladi. Ushbu fikrlar nafaqat yorug'lik kvantlari uchun, balki ultrabinafsha, infraqizil va Ultra yuqori chastotali elektromagnit nurlanishning modda bilan o'zaro ta'siri uchun ham ahamiyatlidir. Umuman olganda, elektromagnit nurlanish modda bilan ta'sir o'tkazadi va uning ichki energiyasini o'zgartiradi. Mikrosistemalar atomlardan, molekulalardan, ionlardan va elektronlardan iborat bo'lganligi sababli, ularning energiya holati (modda va energiyaning kvant tabiati asosida) 1-rasmda ko'rsatilganidek, alohida energiya darajalari sifatida tasavvur qilinishi mumkin. Shunday qilib, mikroobektsiyalar va mikrosistemalarning ichki energiyasi kvantlanadi. Rasmdan ko'rinib turibdiki, tegishli darajalarda joylashgan zarralar doiralar bilan belgilanadi. Ular bir darajadan ikkinchisiga o'tishlari mumkin. Ushbu o'tish bilan energiya so'rilishi yoki chiqarilishi mumkin.

LAZER FIZIKASIGA KIRISH

Lazer qurilmasini va ulardagi hodisalarni o'rganishdan oldin, yorug'lik ta'sirida yuzaga keladigan jarayonlarni moddaga qarab ko'rib chiqing. Tabiatdagi barcha moddalar, ular qanday agregat holatida bo'lishidan qat'i nazar, ularda mavjud bo'lgan atomlar va molekulalar doimo doimiy tebranish va aylanishda bo'ladi. Atomlardagi elektronlar bir orbitadan ikkinchisiga o'tish natijasida tarqaladi yoki so'riladi, boshqacha aytganda, bunday tizimlarda energiya almashinuvi jarayoni sodir bo'ladi
Kvant radiatsiya nazariyasiga ko'ra, elementar emitentlarning (atomlarning) energiyasi faqat pog'ona bilan o'zgaradi, yorqin energiya ma'lum bir nurlanish chastotasi uchun ma'lum bir doimiy qiymat bilan ko'paytirilishi mumkin. Ma'lumki, yorqin energiyaning minimal "qismi" kvant energiyasi deb ataladi. Kvant atamasi quyidagicha talqin qilinishi mumkin. Doimiy chiziqdagi radiatsiya chastotasi mahsuloti kvant energiyasi deb ataladi. Bu e = hn, bu erda h = 6,6 • 10^-34 J. Yorug'lik kvantlari odatda fotonlar deb ataladi, shuning uchun radiatsiya intensivligi foton oqimidan iborat deb aytish mumkin. Foton ikki tomonlama xususiyatga ega, u ham korpuskulyar, ham to'lqin xususiyatlarini ko'rsatadi, shuning uchun u ham impulsga ega: P = hn/c, bu erda c = 3•108 m/s vakuumda yorug'lik tarqalish tezligi. Yuqoridagi formulalar kvant yorug'lik nazariyasining eng muhim va oddiy formulalari bo'lsa-da, ular murakkab ob'ektlardagi yorug'lik jarayonlari bilan bog'liq ko'plab hodisalarni aniq tushuntirishlari mumkin.

Shunday qilib, elementar emitentlar energiya va impuls bilan ifodalanadi. Fotonlar oqimi modda atomlari bilan to'qnashadi va ularga energiya beradi, bu esa atomlarning qo'zg'alishiga olib keladi. Bu holda, agar atomlarda elektronlar tebranishining o'ziga xos chastotasi ularga tushadigan yorug'lik nurlarining chastotasiga mos keladigan bo'lsa, bunday shovqin juda kuchli (rezonans) bo'ladi, atomlar va molekulalar nurning ikkinchi darajali kvantlari bo'ladi. radiatorlar. Energiya almashinuvi yorug'lik molekulalar va atomlar bilan o'zaro ta'sirlanganda sodir bo'ladi. Shu bilan birga, ma'lum miqdorda yorug'lik kvantlari yo'qoladi va yangilar paydo bo'ladi. Energiya tejash qonuniga ko'ra, yorug'likning mikrosistemalar (molekulalar va atomlar) bilan o'zaro ta'siri uch turga bo'linishi mumkin. Birinchi turdagi shovqinda mikrosistemalarda yorug'lik kvantlarining to'liq emishi kuzatiladi — bu mikrosistemaning energiyasini oshiradi. O'zaro ta'sirning ikkinchi turi bilan yorug'lik energiyasining qisman emishi sodir bo'ladi. Energiyaning qolgan qismi tarqaladi. Uchinchi holatda, energiyaning emishi mikrosistemaning nur nurlanishiga sarflanadi va yorug'lik nurlari kuzatiladi. Ushbu fikrlar nafaqat yorug'lik kvantlari uchun, balki ultrabinafsha, infraqizil va Ultra yuqori chastotali elektromagnit nurlanishning modda bilan o'zaro ta'siri uchun ham ahamiyatlidir. Umuman olganda, elektromagnit nurlanish modda bilan ta'sir o'tkazadi va uning ichki energiyasini o'zgartiradi. Mikrosistemalar atomlardan, molekulalardan, ionlardan va elektronlardan iborat bo'lganligi sababli, ularning energiya holati (modda va energiyaning kvant tabiati asosida) 1-rasmda ko'rsatilganidek, alohida energiya darajalari sifatida tasavvur qilinishi mumkin. Shunday qilib, mikroobektsiyalar va mikrosistemalarning ichki energiyasi kvantlanadi. Rasmdan ko'rinib turibdiki, tegishli darajalarda joylashgan zarralar doiralar bilan belgilanadi. Ular bir darajadan ikkinchisiga o'tishlari mumkin. Ushbu o'tish bilan energiya so'rilishi yoki chiqarilishi mumkin. 1-Bob Moddalarning ishlash prinsipi va ta’siri.
Ushbu bobda biz lazerni amalga oshirish va uning ishlash xususiyatlarini aniqlash imkonini beradigan asosiy kvant-mexanik effektlar va nisbatlarni o'rganamiz. Bu nurning emilimi, spontan va majburiy nurlanishining asosiy jarayonlari va ularning kvant-mexanik tavsifi.
Lazerlarda yorug'lik to'lqinining kuchayishi zarracha (atom, molekula) tomonidan ta'sirlangan foton nurlanishining fenomeniga asoslangan. Induktsiya qilingan nurlanishning asosiy rolini bajarish uchun ishchi moddani (kuchaytiruvchi muhitni) muvozanat holatidan muvozanatsiz holatga o'tkazish kerak, bu erda energiya darajasidagi aholining inversiyasi yaratiladi.
Lazerlarda salınım tizimi sifatida, ikki yuqori yansıtıcı oyna tizimi bo'lgan ochiq rezonator sifatida ishlatiladi. Ular orasida ishchi moddalar joylashtirilganda, faol muhit orqali kuchayib borayotgan nurlanishning bir necha marta o'tishi uchun shart yaratiladi va shuning uchun ijobiy geribildirim amalga oshiriladi. Faol muhitni uyg'otish jarayoni aholining inversiyasini yaratish uchun nasos deb ataladi va bu jarayonni ta'minlaydigan jismoniy tizim nasos tizimi hisoblanadi.
Shunday qilib, har qanday turdagi lazerning strukturaviy sxemasida uchta asosiy element mavjud: faol muhit, nasos tizimi va ochiq rezonator.
Shunga ko'ra, i bobda yorug'lik nurlanishining modda bilan o'zaro ta'siri, nasos usullari va ochiq rezonator nazariyasi bilan kvant daromad va avlod nazariyasi asoslari bayon etilgan.
LAZERLARNING FUNKTSIONAL DIAGRAMMASI
Lazerlar. Atrof muhit orqali yorug'lik o'tayotganda, yorug'lik nurlari va atrof-muhit atomlari o'rtasida majburiy o'tishlar va kvantlarning spontan chiqishi bilan kvant almashinuvi amalga oshiriladi. Nurlanishning chastotasini, atomlarning quyi va yuqori darajadagi kontsentratsiyasini, mos ravishda ω, N₀ va N₁ (rasm.1).

Rasm1-pastki va yuqori darajadagi atomlarning kontsentratsiyasi.
Hajmiy spektral nurlanish chastotasi ω, u_ω zichligini bildiradi. Bu kvantlarning atrof-muhit atomlari tomonidan majburiy yemirilishi natijasida o'zgaradi, buning natijasida oqim zichligi pasayadi va atomlarning majburiy nurlanishi natijasida u_ω zichligini oshiradi . Majburiy o'tish davrida energiya tejash qonuni quyidagi shaklda yoziladi.
(1)
Qayerda Koeffitsient uchun belgilar yordamida , bu yerda v – atrof-muhitdagi chastotali yorug'lik tezligi va energiya oqimining zichligi S  vutenglama (7) quyidagi shaklda yozilishi mumkin.

Termodinamik muvozanat holatida atomlarning kontsentratsiyasi Boltzmanning taqsimlanishi bilan tavsiflanadi. Shundan kelib chiqadiki, E₁ bilan E₀ N₁  N₀ va shuning uchun   0 . Bu shuni anglatadiki, oqim zichligi atrof-muhitdagi nurning o'tishi kamayadi. Zichlikni kamaytirish mexanizmi quyidagicha. Atomlarning quyi energiya darajasidan oqim energiyasining yuqori zichligiga majburiy o'tish natijasida kamayadi. Agar atom tizimini muvozanatsiz holatga keltirsak va shu bilan Boltzmanning taqsimlanishini buzsak, unda teskari aholi darajasi N₁ n₀ , keyin koeffitsienti noldan katta bo'ladi   0 . Bunday holda, o'tish vaqtida nur kuchayadi, ya'ni. muhit yorug'lik oqimining kuchaytiruvchisi sifatida harakat qiladi. Bu esa, indikatsiyalangan nurlanishga asoslangan to'lqin generatorlari va kuchaytirgichlarini yaratishga imkon beradi. Yorug'lik diapazoni uchun bunday generatorlar lazerlar, mikrodalga esa – mazerlar deb ataladi. Nur nurining yordami bilan siz E1 –ga ega bo'lgan darajalarning teskari joylashishiga erisha olmaysiz. Darajalarning teskari joylashuvi rivojlangan nurdan mustaqil bo'lgan ba'zi ta'sirlar yordamida yaratilishi mumkin. Teskari aholi sonini yaratish nasos deb ataladi. Nasosning eng oddiy usuli uch bosqichli tizimlarda amalga oshiriladi (rasm.2).

Rasm 2. Uch bosqichli tizimlarda nasos usuli.
Rasm bo'yicha.2 tizimning muvozanat holatida aholi taqsimlanishini ko'rsatadi. Katta quvvatning yordamchi nurlanishiga duch kelganda, h (E₂ E₀) ga nisbatan mag'lubiyat E₀ va E₂ darajalarining joylashishini deyarli taqqoslaydi. E₂ darajasida atomlarning hayot vaqti juda kichik va ular o'z-o'zidan E₁ darajasiga, ular yetarlicha katta bo'lgan hayot vaqtiga o'tishadi. E₁ darajasidagi atomlar to'planishi aniq, natijada E₀ va E₂ darajalari o'rtasida teskari aholi paydo bo'ladi (rasm.3). Ushbu darajalar orasidagi o'tish nurni kuchaytirish uchun ishlatilishi mumkin .

Rasm 3. E₀ va E₂ darajalari o'rtasida teskari joylashish.
Lazerlarni pompalash nafaqat yorug'lik yordamida, balki juda xilma-xil bo'lishi mumkin. Nasosga bo'lgan qaramlikning tabiatiga ko'ra, u doimiy va impuls bo'lishi mumkin. Agar nasos impulslar bilan amalga oshirilsa, lazer nurlanishi impulsdir. Uzluksiz nasos bilan, ishlab chiqarish sharoitida, lazer nurlanishi doimiy (doimiy nasos bilan, shuningdek, radiatsiya puls rejimi mumkin).
LAZER NURLANISHINING XUSUSIYATLARI. EYNSHTEYNNING KOEFFITSIENTLARI. BOSE-EYNSHTEYN VA FERMI-DIRAK STATISTIKASI VA SALBIY ASSIMILYATSIYA.
SPONTAN VA MAJBURIY RADIATSIYA. EYNSHTEYNNING KOEFFITSIENTLARI.
Bo'shliqdagi radiatsiya energiya bilan kvantlarning to'plamidir . Kvant atomlarning boshlang'ich energiya darajasi bo'lgan energiya bilan yuqori energiya darajasiga o'tadigan atomlar tomonidan so'rilishi mumkin. Atomdan darajaga o'tishda energiya bilan kvant chiqariladi . Ushbu darajalarni E₀ va E₁ indekslari bilan belgilang (rasm 0-rasm).) va shunga mos ravishda pastki va yuqori darajaga qo'ng'iroq qiling. Moddiy organlar (bo'shliq devorlari) va radiatsiya o'rtasida doimiy energiya almashinuvi mavjud. Ularning orasidagi dinamik muvozanat kvant almashinuvi har bir chastota uchun muvozanatlashganda keladi. Shuning uchun quyida faqat bitta chastotalar ko'rib chiqiladi. Boshqa chastotalar uchun barcha dalillar bir xil.
Pastki darajadan yuqori o'tishgacha faqat kvant energiyasining emishi bilan mumkin, ya'ni. tushgan nurlanishning ta'siri ostida. Bunday o'tishlar majburiy deb ataladi. Yuqori darajadan pastki darajaga o'tish, radiatsiya atomiga tushayotgan radiatsiya ta'siri ostida va o'z-o'zidan paydo bo'ladigan radiatsiya atomiga tushishidan qat'i nazar, majburiy bo'lishi mumkin. Spontan o'tish ehtimoli 1 0 soniyasiga, yuqori darajadagi atomlarning kontsentratsiyasini bildiradi. Keyin spontan o'tishlarning chastotasi .

Majburiy o'tishlarning chastotasi tushgan fotonlar soniga yoki radiatsiya spektral zichligiga mutanosib . Shuningdek, 1 0 va 0 soniyasiga majburiy 1 soniyasiga radiatsiya ta'sirida o'tish ehtimolini ham bildiramiz; - past darajadagi atomlarning kontsentratsiyasi. Keyin majburiy o'tishlarning chastotasi uchun yozilishi mumkin.
, (1)
Dinamik muvozanat holati shaklga ega yoki
Muvozanat holatida Boltzmanning taqsimlanishi amalga oshiriladi, bu atomlarning kontsentratsiyasi uchun. ,
(2)
bu erda a normalizatsiya doimiy. (2) ning (1) o'rnini bosuvchi
(3)
Qiymatlar va Eynshteynning koeffitsientlari deyiladi. Jismoniy sabablarga ko'ra, bu bo'lishi kerak. Keyin (3) ga o'tish chegarasidan quyidagicha
.
Shuning uchun (3) nisbati quyidagi shaklda yozilishi mumkin
(4)
qaerda . Kichik chastotalarda (5) Rayley-Jeans formulasiga mos kelishi kerak deb hisoblasangiz, qiymatni topish mumkin. Va (5) shaklini oladi
(5)
Olingan ifodani Rayley-Jeans formulasi bilan taqqoslab, quyidagilarni topamiz

Natijada, formula (5) shaklini oladi
(6)
Nisbat (6) barning formulasidir. Spontan radiatsiya tasodifiy tarqalish yo'nalishi, tasodifiy polarizatsiya va tasodifiy fazaga ega. Bu borada majburiy radiatsiya spontanlikdan farq qiladi. Majburiy nurlanishning tarqalish yo'nalishi majburiy nurlanishning yo'nalishiga to'g'ri keladi. Xuddi shu narsa majburiy va majburiy nurlanishning chastotasi, fazasi va polarizatsiyasi uchun ham amal qiladi. Shuning uchun majburiy va majburiy radiatsiya qat'iy izchil bo'ladi. Majburiy nurlanishning bu xususiyati lazer deb ataladigan kuchaytirgichlar va yorug'lik generatorlarining ta'siriga asoslangan.

O'ZGARISHLAR MAYDONI. TARQATISH FUNKTSIYASI

N zarracha tizimini ko'rib chiqamiz. Biz unga tizim zarrachalarining barcha koordinatalari va impulslarining ko'p o'lchovli maydonini bog'laymiz. Tizimning holati 6n o'zgaruvchilari vazifasi bilan belgilanadi, chunki har bir zarrachaning holati x, y, z uch koordinatali koordinatalar va uchta impuls proektsiyasi bilan aniqlanadi , . Shuning uchun ko'p o'lchovli makonning o'lchami 6N. bu makon fazali maydon deb ataladi. Klassik holatda tizimning har bir mikrosostoyiyasi o'zgarishlar maydonidagi nuqta bilan javob beradi. Tizimning har bir kvant holatiga harakatlanishining kvaziklasik tavsifi bilan bu makonda elementar hajm mavjud .

Rasm 6- Bir molekula elementar hujayraning fazaviy hajmi
Atrof-muhit bilan o'zaro aloqada tizimning holati o'zgaradi. Tizimning muayyan holatining dP ehtimoli (p, q) tarqatish funktsiyasi bilan ifodalanishi mumkin

Bu yerda barcha zarrachalarning koordinatalari va impulslarining differentsiallari mahsuloti degan ma'noni anglatadi. Tarqatish funktsiyasini aniqlash

integratsiya butun fazada amalga oshiriladi. Ma'lum bir tarqatish funktsiyasi bilan tizimning makroskopik parametrlarini aniqlash mumkin. Statistik fizika ma'nosida har qanday makroskopik parametr l mikrosostaniyalarda o'rtacha hisoblanadi

Katta issiqlik tanki bilan termal aloqada bo'lgan tizim uchun tarqatish funktsiyasining aniq ifodasi Gibbs tomonidan olingan. U Gibbsning kanonik taqsimoti deb ataladi va L shaklga ega ,

bu erda a-normalizatsiya sobit, n-bu holatni belgilaydigan kvant sonlarining to'plami.
BOSE-EYNSHTEYN VA FERMI-DIRAK STATISTIKASI
Tadqiqotning eng oddiy maqsadi ideal gazdir. Zarrachalarning o'zaro ta'siri ahamiyatsiz bo'lsa, haqiqiy gaz ideal deb hisoblanishi mumkin. Bir xil bo'lmagan zarralar tizimining holati i-m kvant holatida zarrachalarning o'rtacha sonini aniqlaydigan to'lg'azish raqamlari yordamida tavsiflanishi mumkin. Bozonlar tomonidan hosil qilingan zarralar tizimlari uchun to'ldirish raqamlari har qanday salbiy bo'lmagan qiymatlarni qabul qilishi mumkin: 0, 1, 2, .... Fermionlar tomonidan tashkil etilgan tizimlar uchun to'ldirish raqamlari faqat ikkita qiymatga ega bo'lishi mumkin: bepul davlatlar uchun 0 va bandlar uchun 1. To'ldirishning barcha sonlarining yig'indisi tizim zarrachalarining soniga teng. Gibbsning kanonik (yoki katta kanonik) taqsimoti yordamida kvant holatini to'ldirish sonini aniqlash mumkin.
Bozonov-Boze-gazning ideal gazini to'ldirish soni nisbati bilan belgilanadi

Bu ibora Bose-Eynshteynning taqsimlanishi deb ataladi. Bu erda -kvant holatidagi bosonlarning o'rtacha soni energiya bilan – kimyoviy salohiyat deb ataladigan parametr. Uning qiymati N – tizimdagi zarrachalar soni bo'lgan holatdan aniqlanadi. Uning ta'rifi bo'yicha kimyoviy salohiyat zarrachalar soni va haroratning funktsiyasidir .
Fermionlarning energiya bo'yicha taqsimlanishi quyidagi shaklga ega

Kiruvchi qiymatlarning ma'nosi (11) (10) bilan bir xil. Tarqatish (11) Fermi-Dirak taqsimoti deb ataladi. Agar Bose-Eynshteyn va Fermi-Dirakning taqsimoti Maksvell-Boltzmanning klassik taqsimotiga aylantirilsa

qaerda . Shunday qilib, kichik miqdordagi plomba () bilan, har ikkala kvant gazi ham klassik gaz kabi o'zini tutadi.
Agar to'lg'azish soni birlik yoki undan ko'p bo'lsa (ikkinchisi bose-gaz uchun mumkin) bo'lsa, kvant gazini degenerativ deb ataladi. Degeneratsiyalangan bose-gaz va Fermi-gaz bir-biridan sezilarli darajada farq qiladi va o'z navbatida ideal gazdan farq qiladi. Shunday qilib, degeneratsiyalangan bose-gazda harorat pasayganda, bose-kondensatsiya sodir bo'ladi, ko'p sonli zarrachalar past energiya darajasiga o'tadi. Bose-kondensatsiya supero'tkazuvchi va super o'tkazuvchanlik kabi hodisalarni tushuntiradi.

Rasm 7 Bose-kondensat-bu fazali termodinamik o'tish jarayonida hosil bo'lgan boson tizimining izchil, makroskopik tarzda to'ldirilgan asosiy holati, bu esa o'z-o'zidan izchil o'rnatish bilan birga keladi.
Gazlarning nasli haroratning pasayishi va/yoki gaz zichligi oshishi bilan sodir bo'ladi. Kvant gazining nasli parametri sifatida harorat ishlatiladi . Ushbu xarakterli harorat degeneratsiya harorati deb ataladi.

FAOL MUHITDA YORUG'LIKNI SINGDIRISH VA KUCHAYTIRISH. LAZERLARNI O'Z-O'ZINI HIMOYA QILISH HOLATI. UCH VA TO'RTTA ENERGIYA (DARAJA) HOLATIGA EGA LAZERLAR

KUCHLI LAZER MAYDONIDA UCH BOSQICHLI FOTOIYONIZATSIYA.
Agar lazer nurlanishi butunlay erimaydigan yorug'lik maydoni bo'lsa, fotoiyonizatsiya nazariyasini yaratish uchun siz fazani e'tiborsiz qoldirib, impulsdagi fotonlar sonini aniqlashingiz mumkin (yoki fotonlarning kuchli lazer maydonida uch bosqichli FOTOIYONIZATSIYA orqali intensivlikni ifoda eting). Ushbu statistik yondashuv uch darajali atomning zichligi matritsasi uchun tenglama tizimini ko'rib chiqishni talab qiladigan umumiy vazifani sezilarli darajada soddalashtirishga va muvozanat tenglamalari (yuqori tezlikli tenglamalar) bilan chegaralashga imkon beradi. Ushbu xatboshi lazer bo'lmagan, erimaydigan maydonda atomlarning uch bosqichli fotoiyonizatsiyasi uchun kinetik tenglamalarni taqdim etadi. Shakl Bo'yicha. 8 atomning alohida energiya darajasini ko'rsatadi.p₁,p₂,p₃.

Rasm 8 Uch bosqichli fotoiyonizatsiya sxemasi.
Bu erda 1, pair 2, ayyor 3 va ayyor i darajali aholi bor 1, 2, xar – xar– xir – xir-xir i (1-atomning asosiy holatining energiyasi, 2-xar-xur va 3-uning hayajonlangan holatlarining energiyasiga, i-avtoiyonizatsiya darajasining energiyasiga) barham berish. Va yuqorida ko'rsatilgan energiyaga mos keladi va atomning kvant davlatlarini energiya bilan tasvirlaydi 1, 2, 3 holatini tiklash: – asosiy holat, - birinchi hayajonlangan holat, - eng hayajonlangan holat. Bundan tashqari, davlat iionizatsiya salohiyatidan yuqori bo'lgan avtoiyonizatsiya holatini bildiradi.
Qattiq chiziqlar lazer nurlanishining ta'siri ostida indikatsiyalangan (majburiy) o'tishlarni ko'rsatadi. Bunday o'tishlarning davlatdan davlatga o'tish ehtimoli WBA = FBA ba ning kattaligi bilan belgilanadi, bu erda FBA fotonlar oqimining zichligi energiya bilan, rezonans o'tish, va ba-tegishli o'tishning qo'zg'alishi.
Ushbu miqdorlarning quyidagi o'lchamlari ishlatilganligiga e'tibor bering: [Wba] = C-1; [FBA] = sm-2 s-1; [ba] = sm2. Yuqoriga yo'naltirilgan vertikal o'qlar majburiy emissiya jarayonlariga yo'naltirilgan qo'zg'alish jarayonlarini ko'rsatadi. Shtrixli chiziqlar tegishli darajalarga spontan o'tishni, shuningdek , mavjud bo'lgan va fotoiyonizatsiya jarayonlariga kuchli ta'sir ko'rsatadigan metastabil (uzoq umr) holatlarga o'tishni ko'rsatadi.
Avtoiyonizatsiya holatining i darajasida yuzaga keladigan fotovoltaik (alohida holatlarda elektronlar hayoti bilan taqqoslaganda 1 va 2) uzluksiz spektrga o'tadi va ionlashtiruvchi kameraning hajmida doimiy maydon ta'siri ostida ionlashtiruvchi oqimning elektron komponentiga hissa qo'shadi. Shuning uchun tez-tez W3i tomonidan teskari tarjima qilingan o'tishni e'tiborsiz qoldirish mumkin. bu holda, elektronlarning kontsentratsiyasining (aholi) o'zgarishi i darajali i darajali to'g'ridan-to'g'ri o'tishlar tufayli yuzaga keladi 3. Dastlab teskari jarayonlarni e'tiborsiz qoldirib (ya'ni, parchalanish jarayonlari), biz eng oddiy shaklga ega bo'lgan muvozanat tenglamasini olamiz:
(0.1)
Asosiy davlatga qadar quyidagi diskret darajalar uchun ushbu darajadagi kontsentratsiya (aholi) o'zgarishining yorug'lik, lazer nurlanish manbalari, ya'ni rezonans fotonlarning oqim zichligiga sezilarli darajada bog'liqligini ta'kidlash kerak. Bu darajadagi aholi bir-biri bilan bir-biri bilan taqqoslanishi mumkin, shuning uchun muvozanat tenglamalaridagi barcha to'g'ridan-to'g'ri va teskari o'tishlarni diqqat bilan va aniq hisobga olish kerak. Misol uchun, 3 darajasida hayajonlangan atomlarning kontsentratsiyasi turlarning yuqori tezlikli tenglamasi bilan aniqlanadi:
(0.2)
Bu erda tenglamaning o'ng tomonidagi birinchi atama (0.2) avtoiyonizatsiya darajasiga, ya'ni uzluksiz spektrga o'tish tezligi (atamalar – wi3 3), shuningdek, majburiy va spontan o'tishlar tufayli 2 energiyasiga ega bo'lgan pastki darajaga "g'amxo'rlik" (atamalar – W23 3 va-A23 3), bu erda A23 = 1 / 23ni tiklash, 23-davlatga o'tishda davlatning spontan parchalanishi vaqti  Summan + W32 2 b (0.2) atomlarning "kelishi" ni 3 energiyasi bilan davlatga tasvirlaydi lazerning nurlari bilan indikatsiya qilinganida, rezonansli o'tish . Shuni ta'kidlash kerakki, ba'zida asosiy holatdan hayajonli holatga ikki fofotonli o'tish jarayonlarini hisobga olish kerak .
Ikki fotonli o'tish davri bir vaqtning o'zida ikkita fotonani o'zlashtirilishiga mos keladi 1 + 2, bu erda birinchi va ikkinchi bosqichdagi lazer nurlarining 1 va 2 – frekanslarini qo'zg'atish. Bunday holda, tenglama o'ng tomoniga (0.2) turlarning ijobiy belgisi bilan qo'shilishi kerak.
+ (₃₁Ф₃₂Ф₂₁) ₁ (0.3)
qavslardagi ifoda ikki fofotonli o'tish tezligiga mos keladi . Addend (0.3) ikki fazali rezonansda joylashgan ikkita lazer nurlari bilan qo'zg'atilgan holda, atomlarning" kelishi " dir1+ 2= 3 – 1. Xuddi shunday, (0.2) atomlarning "g'amxo'rligi" ni hisobga olish kerak. (3.2.3) farqli o'laroq, (0.2) ga o'tganda, turning salbiy belgisi bilan atamalar paydo bo'ladi
– (₁₃Ф₃₂Ф₂₁) ₃ (0.4)
qavslardagi iboralar teskari indikatsiya qilingan ikki fofotonli o'tishlarning tezligiga mos keladi . Shuni ta'kidlaymizki, umumiy holda 31 va 13 koeffitsientlari bir-biriga teng emas! 1 va 2 chastotalarida, ularning atom o'tish chastotalari bilan qattiq rezonansda, ishlatiladigan lazer nurlarining intensivligining keng maydonidagi tenglamada (0.3) va (0.4) depozitlari juda kichik va ular deyarli har doim e'tiborsiz bo'lishi mumkin. Biroq, agar lazer to'lqinlarining chastotalari va atom o'tish chastotalari o'rtasida buzilish mavjud bo'lsa, unda ikki fofotonli o'tishlar tenglama (0.2) va keyingi tenglama (0.6) da hisobga olinishi kerak.
2 atomlarining kontsentratsiyasiga o'xshash yondashuv va 1-darajali 1-darajali mag'lubiyat shunga o'xshash turdagi tenglamalarga olib keladi:
(0.5)
(0.6)
Tenglama (0.5) da, o'ng tarafdagi birinchi atama 2 darajasidagi atomlarning "g'amxo'rligi" ni keltirib chiqaradigan va spontan o'tishlar tufayli davlatlarga va ta'riflaydi ; qolgan atamalar tegishli o'tishlarning "kelishi" dir. Tenglama (0.6) da, atamalar bir xil sharhga ega, chunki oxirgi atamalar ikki fofotonli o'tishlarni hisobga oladi va ular tenglama (0.2) da o'xshash atamalar bilan teskari belgilarga ega. Zarur bo'lganda, turli metastabil davlatlarni hisobga olish bir xil tartibda amalga oshirilishi kerak: elektronni davlatlardan va davlatdan "olib tashlash" (qarang: shakl. 8 )salbiy belgisi bo'lgan atamalar bilan tavsiflanadi – wma-ning a = 2, 3, i holatidan mos keladigan metastabil holatga o'tish tezligi.
Shunday qilib, tenglamalar tizimi (0.1) (0.2) (0.5) va (0.6) a =1, 2, 3 bo'lgan davlatlarda atomlarning kontsentratsiyasini o'zgartirish jarayonining kinetikasini to'liq aniqlaydi. Shu bilan birga, uchta tenglamani (0.2) (0.5) va (0.6) hisobga olishni cheklash kifoya, chunki tenglama uchun (0.1) umumiy yechim aniq-boshlang'ich shartni hisobga olgan holda (0.1) 3(t) = 3 (t0)
(0.7)
Bu erda yorug'lik nurlarining intensivligining u = {r, z} ning mekansal koordinatalariga bog'liqligi aniq ko'rsatilgan, bu erda z yorug'lik nurlari bo'ylab eksa va r-transvers koordinatalar.

IKKI DARAJALI TIZIM MODELI

Atom sathining quyidagi tizimini ko'rib chiqing rasm. 9
Shakl 9-ikki bosqichli ionlash

Bu holda zichlik matritsasi (Z. 7) uchun tenglamalar paydo bo'ladi: (Y.1 а)

(Y.1 b)


(Y.1 c)

1-darajali qo'shimcha ravishda, 2-darajali ehtimollik darajasiga wj1 bilan qo'zg'alish jarayoni sodir bo'lishiga ishonamiz. Fotoiyonizatsiya Wj2 tezligida Avto-ionlashtiruvchi holat orqali amalga oshiriladi, bu qo'zg'alish tezligidan sezilarli darajada yuqori, ya'ni wj1 < wj2. Birinchidan, ikkinchi bosqichning (fotoiyonizatsiya) ehtimolligi birinchi holat va asosiy holat o'rtasidagi o'tish tezligiga nisbatan , ya'ni w10 >> wj1 ga nisbatan juda kichikdir. Aytaylik, bu farq 10 = - 10 (optik to'lqinning chastotasini qayta tiklash deb ataladi) atomik o'tish chastotasidan parat juda kam va yaxshi 10. Tenglama chiqib (?.3) lazer to'lqinlarining modda bilan o'zaro ta'siri operatori paydo bo'lishi kerak . Lazer joylari (?) muvofiq tekis monoxromatik to'lqinlar bor.5). Bir to'lqin uchun o'zaro aloqa operatori ikki atamadan iborat:

(Y.2)
Bu erda biz elektr maydon vektorining bir komponentiga va dipol momentining operatorining bir komponentiga chek qo'ydik , bu erda + ermitik bilan bog'langan: (d +)nm = . Umuman olganda, operatorning matritsali elementi (Y. 2) ikkita atamadan iborat
(Y. 3)
Davlatlar orasidagi ikki darajali tizim uchun va bir-biriga teng ikkita matritsali element bilan cheklash etarli V10, :
= (Y.4)
biz yangi belgi kiritdik ₁₀ =  , qulning chastotasiga mos keladi. Shu bilan birga . Ushbu alohida holatda (Y. 4) V10 = V01 dan ko'rinib turibdiki. Ikki darajali tizim uchun (30.1) ga kiritilgan kalitlar oddiy ko'rinishga ega:

(Y.5)

• 
  E'tibor bering, va . Tenglamada (Y. 5) (Y. 1) o'rnini bosamiz, biz buni olamiz
  

(Y.5 a)
va zichlik matritsasining diagonali bo'lgani uchun 0 va 1 elementlari (y 5 a) farq sifatida kiritilgan bo'lsa, biz (30.5 b) va (30.5 v) tenglama hosil qilamiz ₀ – ₁:

(Y.5 b)

vaqtni qaerga kiritdik (infraqizil masofa uchun).

10⁴ K dan kam haroratlarda optik diapazonda asosiy holatdan hayajonli holatga spontan o'tishlarni e'tiborsiz qoldirish mumkin, ya'ni tegishli formulalarda w₁₀ = 0 va (0 v) W30.5 = 30.5 deb hisoblash mumkin. Bunday holda, 0 va 1 tenglamalarini alohida-alohida yozish uchun qulay
(Y.5 v)
Shuni e'tiborga olish kerakki, farq uchun tenglama (0-1) paydo bo'ladi (30.5 b), bu yerda dam olish muddati o'rniga o'ng tomonda (shuningdek, Y. 9-ga qarang)).
Tenglama echimini (Y. 5 a) shaklda qidiramiz
(Y.6)
Biz (Y. 6) va (Y. 3) tenglamaga (Y. 5 a) aylantiramiz
(Y.7)
shunda  = .
Ushbu differensial tenglama aniq yechimga ega:
(Y.8)
Shunda Yechim (Y. 8) ko'pincha raqamli hisob-kitoblar uchun ishlatiladi. V10 va (Y. 6) uchun ifodalar (Y. 3) yordamida tenglama (Y. 5 b) shaklga aylanadi
(Y.9)
Bu erda, hayajonlangan holatdan optik diapazonda asosiy holatga o'tish , termostat ta'siri ostida teskari o'zgarish yo'qligi hisobga olinadi. Bundan tashqari, 0 + 1 = 1 (yoki n – tovush birligidagi zarrachalar soni). Shuni ta'kidlash kerakki, tenglama (Y. 7) uchun 10(t) va (Y. 9) uchun (0 – 1) ba'zi a'zolar tez-tez o'zgarib turadi, boshqalari esa chastotalarga nisbatan sekin-asta o'zgarib turadi. Birinchi yondashuvda vaqtinchalik o'zgarishlar ko'paytmasini o'z ichiga olgan tez o'zgaruvchan atamalar hisobga olinmaydi. Keyinchalik aniq hisob-kitoblar ketma-ket yondashuv usuli bilan amalga oshirilishi mumkin va bu 10 atomik chastotasining o'zgarishiga olib keladi, ya'ni.bu erda ko'rib chiqilganidek, ko'p hollarda bitta fotonli rezonans bilan e'tiborsiz bo'lishi mumkin bo'lgan shtarkovskiyning siljishiga olib keladi. Bundan tashqari, faza xotirasining tez gevşemesi tufayli, odatda (Y. 7) chap summani tushiradi, ya'ni.
(Y.10)
Birinchidan, infraqizil intervalli ishini ko'rib chiqing. (Y. 10) ning (Y. 6) o'rnini bosuvchi va oxirgi b (Y. 5 b) va tezkor o'zgarishlarni o'z vaqtida tushirish, biz eksponentsial qonun shaklida aholi o'rtasidagi farq uchun quyidagi tenglamani olamiz:
(Y.11 а)
belgilar kiritilgan joyda