Ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlar va ularning xossalari

Laplas teoremasi
1.2.1-Teorema (Laplas teoremasi)
Determinant qiymati uning biror satri (yoki ustun) elementlarini bu elementlarning mos algebraik to’ldiruvchilariga ko’paytirilgan yig’indisiga teng.
Isbot: (1.2.2) determinantning ikkinchi ustuni uchun teoremaning tasdig’i quyidagicha tenglikning to’g’riligidan iborat, ya`ni

1.2.1-Misol.
a)


b)



To’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasini almashtirish.

Endi dekart koordinatalar sistemasini almashtirishga to’xtaymiz. Bir to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasidan ikkinchi dekart koordinatalar sistemasiga o’tishda (14.3) formuladan foydalanamiz, lekin o’tish matritsasining ( ) elementlariga qo’shimcha shartlar qo’yiladi.

Tekislikda - eski - yangi dekart koordinatalar sistemasi bo’lsin.

(15.1)

bo’lsin, bu yerda ikki hol o’rinli bo’ladi.

1. Eski va yangi koordinatalar sistemasi bir xil yo’nalishga ega (30-chizma).

   
   

(6.6) tenglikni navbat bilan va vektorlarga skalyar ko’paytirib quyidagilarga ega bo’lamiz.

topilgan qiymatlarni (14.3) ga qo’yib,

(15.2)
Yo’nalishlari bir xil bo’lgan dekart koordinatalar sistemasini almashtirish formulasiga ega bo’lamiz.

2. Eski va yangi koordinatalar sistemasi turli yo’nalishga ega bo’lsin. (31-chizma).

   
   

Buni e’tiborga olib, (15.1 6.6) ni va vektorlarga navbati bilan ko’paytirsak, ushbuga ega bo’lamiz.

Topilgan qiymatlarni (6.4) ga qo’yib,

(15.3)
Yo’nalishlari har xil bo’lgan dekart koordinatalar sistemasini almashtirish formulasiga ega bo’lamiz.

2. va (15.3) formulalarni bitta

   
   

(15.4)
formulaga birlashtirish mumkin, bu yerda , yo’nalishlar bir xil bo’lsa , agar har xil bo’lsa ga teng.

Agar (15.5) da x₀=y₀=0 bo’lsa , u holda

(15.5)
formulani dekart koordinatalar sistemasini O nuqta atrofida burish formulasi deyiladi.

1-misol. Ikkita va ( ) affin reperlar berilgan bo’lib, bunda bo’lsin. N nuqtaning eski reperga nisbatan koordinatalari x= 2, y=1 ekanligi ma’lumligini bilgan holda bu nuqtaning yangi reperga nisbatan x’, y’ koordinatalarini toping.
Yechish Berilgan: Bu qiymatlarni (6.4) ga qo’yib quyidagilarga ega bo’lamiz.

bu sistemani yechib

Yangi sistemada N nuqtaning koordinatalari
Orientasiya: Bir vektordan ikkinchisiga qisqa burilish yo‘nalishi soat strelkasi yo‘nalishiga qarama-qarshi bo'lsa, bu vektorlar o‘ng ikkilik, aks holda chap ikkilik tashkil qiladi deyiladi. Bazis sifatida biror ikkilik tanlansa, biz orientatsiya tanlab olingan deb hisoblaymiz. Bizga { va { ortonormal bazislar berilgan bo'lsin. Bu bazislar yordamida kiritilgan Dekart koordinatalar sistemasilarini mos ravishda O xy va O 'x'y' bilan belgilaylik. Nuqtaning “eski” va “yangi” koordinatalari orasidagi bog'lanishni topamiz. “Yangi” koordinatalar sistemasi markazining “eski” koordinata sistemasidagi koordinatalarini (a, b) bilan belgilaylik.
Fazoda M nuqta berilgan bo‘lib,uning Oxy va O 'x'y' sistemalardagi koordinatalari mos ravishda (x ,y ) va {x',y') juftliklardan iborat bo'lsin.
Biz quyidagi tengliklarga ega bo`lamiz:

= x + y , O 'M = x' ' + y ’ ' , = a + b

Har bir vektorni { } bazis orqali ifodalash mumkinligi uchun

1. 
   munosabatlarni hosil qilamiz. Bu ifodalarni
   

= ' + , =
tengliklarga qo‘yib
=
tenglikni hosil qilamiz.
Bazis vektorlari { } chiziqli erkli oilani tashkil etganligi uchun yuqoridagi munosabatdan

x = a₁₁x'+a₁₂y'+a

y=a₂₁x'+a₂₂y'+b (2)
formulalami olamiz. Endi a_ij koeffitsientlarni topish uchun ikkita holni qaraymiz.
Birinchi hol: { } va { } bazislar bir xil orientatsiyaga ega:
Bu holda agar bilan va vektorlar orasidagi burchakni belgilasak, va ' vektorlar orasidagi burchak ham ga teng bo‘ladi. Yuqoridagi (1) tengliklarning har ikkalasini va vektorlarga skalyar ko‘paytirib,
, , ,
formulalarni olamiz. Agar { } va { } bazislar har xil orientatsiyaga ega bo‘lsa, va vektorlar orasidagi burchak ga teng bo'ladi. Bu holda (1) tengliklarning har birini vektorlarga skalyar ko'paytirib , , , formulalarni hosil qilamiz. Bu formulalarni (2) formulalarga qo‘yib, mos ravishda quyidagi ikkita formulalarni olamiz:
(3)Bu holda o’tish determinanti uchun tenglik o'rinli.
Ikkinchi holda bazislaming orientatsiyalari har xil va koordinatalarni almashtirish formulalari
ko‘rinishda bo'ladi.
Bu holda o‘tish determinanti uchun '
tenglik o‘rinli bo'ladi. Demak, koordinatalar sistemesini almashtirganimizda o‘tish matritsasining determinanti musbat bo‘lsa, oriyentatsiya o'zgarm aydi. Agar o‘tish matritsasining determinanti manfiy bo‘lsa, oriyentatsiya qarama- qarshi oriyentatsiyaga o‘zgaradi.