Ikkinchi tur xosmas integrallar”

1-ta’rif. Agar
(25)
integral yaqinlashuvchi bo’lsa (23) xosmas integral absalyut yaqinlashuvchi deyiladi.
2-ta’rif. Agar (23) integral yaqinlashuvchi bo’lib, (25) integral uzoqlashuvchi bo’lsa, u holda (23) xosmas integral shartli yaqinlashadi deyiladi.
1-teorema. Aytaylik oraliqda
(26)
tengsizlik o’rinli bo’lsin U vaqtda
(27)
integralning yaqinlashishidan (23) integralning ham yaqinlashishi kelib chiqadi.
Isbot. Aytaylik (27) integral yaqinlashuvchi bo’lsin. U vaqtda Koshi-kriteriysiga asosan
(28)
tengsizlik bajariladi. (4) ga asosan

kelib chiqadi va Koshi-kriteriysiga asosan (23) integral yaqinlashadi.
Eslatma. 1-teoremada deb olinsa xosmas integralning absolyut yaqinlashishidan integralning o’zini yaqinlashishi kelib chiqadi. Xosmas integralning shartli yaqinlashuvchi bo’lishi haqidagi teoremani keltiramiz.
2-teorema (Dirixle-Abel belgisi). Aytaylik, quyidagi shartlar bajarilgan bo’lsin:
1) f(x) funksiya oraliqda uzluksiz va chegaralangan F(x) boshlang’ich funksiyaga ega bo’lsin;
2) g(x) funksiya oraliqda aniqlangan bo’lib, monoton o’suvchi bo’lmasin, hamda bo’lsin;
3) funksiya da uzluksiz bo’lsin. U vaqtda
(29)
xosmas integral yaqinlashadi.
Isbot: Ixtiyoriy kesmada, bunda A₂ > A_1,
, ushbu integralni bo’laklab integrallaymiz:
(30)
Teorema shartiga ko’ra boshlang’ich funksiya F(x) chegaralangan, ya’ni1 funksiya esa o’suvchi bo’lmasdan da nolga yaqinlashganligidan kelib chiqadi, (8) ni baholaymiz:


kelib chiqadi. Demak,
(31)
ixtiyoriy musbat son bo’lsin. da bo’lgani uchun bo’yicha B sonni shunday tanlaymizki, natijada bo’lsa, tengsizlik bajariladi. Bunga asosan (31) dan

kelib chiqadi va Koshi-Kriteriysiga asosan (29) integralning yaqinlashishi ta’minlanadi. Teorema isbot bo’ldi. (Peter Gustav Lejen-Dirixle nemis matematigi, 1805- 1859, Nilrs Genrix-Abel-Norveg matematigi, 1802-1829)
1-misol. Ushbu,

integralni tekshiramiz. desak, 2-teorema shartlari bajariladi. Shuning uchun integral yaqinlashadi.
2-misol. Frenel integralini qaraymiz:

integralda

desak, 2-teorema shartlari bajariladi. Shuning uchun Frenel integrali yaqinlashadi.
3-misol ham yaqinlashadi. Frenel integrallari fizikaning yorug’lik hodisalari va uning qonunlarini tekshiriladigan bo’lim-optikada tatbiq qilinadi. (Ogusten Jan-Frenel-Fransuz fizigi,1788-1827)
4-misol integralning absalyut yaqinlashishi tekshirilsin. Ixtiyoriy uchun

bo’ladi. Aniqki,

integral yaqinlashadi. Bundan,

integralning ham yaqinlashishi kelib chiqadi. Demak, berilgan integral absalyut yaqinlashadi.
5-misol. Ushbu,

integral tekshirilsin. Berilgan integralni quyidagi ko’rinishda yozamiz:

funksiya [0,a] oralig’da uzluksiz va chegaralangan bo’lganligi uchun birinchi integral mavjud. desak, Dirixle-Abel teoremasiga asosan ikkinchi integral ham yaqinlashadi. Demak, berilgan integral yaqinlashadi. Barcha x lar uchun

tegsizlik o’rinli. uzoqlashadi; -yaqinlashadi. Shunday qilib, integral uzoqlashadi. Berilgan integral shartli yaqinlashadi. Amaliyotda tadbiq qilinadigan teoremani keltiramiz.