Ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamalarni kanonik shaklga keltirish usullari

Aim.uz

Ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamalarni kanonik shaklga keltirish usullari

Oldingi mavzuda ta’kidlanganidek ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama noma’lum funksiya va uning barcha xususiy hosilalariga nisbatan chiziqli bo’lsa, unga ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglama deb yuritiladi.

Odatda to’g’ri chiziqd bo’layotgan jarayonlar nuqta o’rni va vaqtga nisbatan ikki o’zgaruvchili funksiya orqali tavsiflansa, shu kabi tekislikdagi fizik jarayonlar uch o’zgaruvchili funksiyalar orqali tavsiflanadi.

Quyida biz n ta erkli o’zgaruvchili funksiyaga nisbatan ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamaning umumiy ko’rinishini keltiramiz:

, (1.2.1)

bunda , va funksiyalar qaralayotgan sohada ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi berilgan funksiyalar.

Biz ushbu kursda asosan ikki o’zgaruvchili funksiyalar bilan shug’ullanamiz va ko’p o’zgaruvchili hol uchun tegishli ko’rsatma beramiz. Bu holda ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli tenglama quiydagi ko’rinishda yoziladi:

(1.2.2)

Agar (1.2.2) tenglamada erkli o’zgaruvchilarni o’zaro bir qiymatli

(1.2.3)

almashtirish bajarsak (1.2.2) differensial tenglamaga ekvivalent tenglamani hosil qilamiz. Ushbu yangi o’zgaruvchilarda (1.2.2) tenglamada ishtirok etayotgan xususiy hosilalarni hisoblaymiz:

(1.2.4)

(1.2.4) dagi ifodalarni (1.2.2) ga qo’yamiz va bir xil xususiy hosilalarni jamlab, (1.2.2) ga ekvivalent bo’lgan quyidagi xususiy hosilali differensial tenglamaga kelamiz:

. (1.2.5)

Bunda koeffisientlardagi funksiyalar (1.2.2) tenglama koeffisientlari orqali quyidagicha ifodalanadi

(1.2.6)

Demak o’zaro bir qiymatli akslantirishlar natijasida xususiy hosilali chiziqli differensial tenglama yana chiziqli differensial tenglamaga o’tar ekan. (1.2.6) dan ko’rinib turibdiki, agar biror funksiya

(1.2.7)

1-tartibli xususiy hosilali differensial tenglamaning yechimi bo’lsa, u holda (1.2.6) da deb olinsa bo’ladi. Xuddi shu kabi mulohazalarni va koeffisientlar uchun ham aytish mumkin. Demak yangi o’zgaruvchilarni (1.2.5) diffrensial tenglamaning yuqori tartibli xususiy hosilalaridan ba’zilari nolga teng bo’ladigan qilibtanlash masalasi (1.2.7) birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamaning yechimini topish bilan uzviy bog’liq ekan. 2-tartibli xususiy hosilali differensial tenglamaning aralash ikkinchi tartibli xususiy hosilalari qatnashmagan bu sodda shakli odatda uning kanonik shakli deb yuritiladi.

Kanonik shaklini ta’minlovchi (1.2.7) birinchi tartibli xusuiy hosilali differensial tenglamaning yechimga ega bo’lish masalasi (1.2.2) dtenglamaning xarakteristik tenglamasi deb ataluvchi

(1.2.8)

oddiy differensial tenglamaning umumiy integrali bilan uzviy bog’liq bo’ladi. Uning umumiy integrallariga odatda (1.2.2) tenglamaning xarakteristik chiziqlari deb yuritiladi. Yuqoridagi tasdiqni biz quyidagi lemmada keltiramiz.