Ikkinchi tartibli chiziqlar

§-2. Ellips
Ta'rif-3. Ikkinchi tartibli chiziq tenglamasini birorta Oxy dekart koordinata sistemasida
(3)
ko'rinishida yozish mumkin bo'lsa, u ellips deb ataladi. Bu yerda koeffisientlar munosabatni qanoatlantiradi.
Bu tenglamani o'rganish natijasida ellipsni chizamiz va uning xossalarini keltirib chiqaramiz. Tenglamadan ko'rinib turibdiki x, y o'zgaruvchilar
tengsizliklarni qanoatlantiradi. Abssissa o'qida yotuvchi
F₂ (c,0) nuqtalar ellipsning fokuslari, tenglamalar bilan aniqlanuvchi
to'g'ri chiziqlar ellipsning direktrisalari deb ataladi. Bu yerda
bo'lib, e soni ellipsning ekssentrisiteti deyiladi. Tenglamadan ko'rinib turibdiki, ellips koordinata o'qlariga nisbatan simmetrik joylashgan bo'lib, koordinata boshi uning simmetriya markazidir.
Ellips xossalari:
1. Ellipsning ixtiyoriy nuqtasidan uning fokuslarigacha bo'lgan masofalar yig'indisi o'zgarmas va 2a ga tengdir.
Bu xossa bevosita hisoblash yordamida tenglikni tekshirish yordamida
isbotlanadi.

Chizma-2.
2. Ellipsning ixtiyoriy nuqtasidan uning fokuslarigacha bo'lgan masofalarning mos direktrisalargacha bo'lgan masofalarga nisbati o'zgarmas va e soniga tengdir.
Bu xossa bevosita tenglikni tekshirish yordamida isbotlanadi.

2. Ellipsning geometrik aniqlanishi.
Tekislikda ikkita nuqta berilgan bo'lsa, bu nuqtalargacha bo'lgan masofalarining yigindisi o'zgarmas songa teng bo'ladigan nuqtalarning geometrik o'rni ellips bo'ladi.
Isbot. Tekislikda F_XF₂nuqtalar berilgan.Biz tekislikning nuqtasidan bu nuqtalargacha bo'lgan masofalarni mos ravishda r_x, r₂ ko'rinishda belgilab
^r\ + r₂ = const = 2a
tenglikni qanoatlantiruvchi nuqtalarinng geometrik o'rnini aniqlashimiz kerak. Berilgan nuqtalar orasidagi masofani 2c bilan belgilasak, r₁ + r₂ > 2a tengsizlikdan
a > c munosabat kelib chiqadi. Tekislikda dekart koordinatalar sistemasini quyidagicha kiritamiz. Berilgan F₁,F₂nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziqni abssissa
o'qi sifatida olamiz, unda musbat yo'nalish F₁ nuqtadan F₂ nuqtaga qarab yo'nalgan bo'ladi. Koordinata boshini F_l,F₂nuqtalarning o'rtasiga joylashtirib, ordinata o'qi sifatida abssissa o'qiga perpendikulyar ixtiyoriy o'qni olamiz. Masofalar uchun

ifodalarni yuqoridagi tenglikga qo'yib

tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikning ikkala tomonini kvadratga oshirib, hadlarni ixchamlashtirib va yana bir marta kvadratga oshirib
tenglamani hosil qilamiz. Bu erda b² = a² - c² belgilash kiritilgan.
3. Bizga l to'g'ri chiziq va unga tegishli bo'lmagan nuqta F berilgan bo'lsa, tekislikda berilgan nuqtagacha bo'lgan masofasining berilgan to'g'ri chiziqqacha bo'lgan masofasiga nisbati o'zgarmas birdan kichik e soniga teng bo'lgan nuqtalarning geometrik o'rni ellips bo'ladi.
Bu faktni isbotlash uchun berilgan F nuqtadan to'g'ri chiziqqa perpendikulyar to'g'ri chiziq o'tkazib, uni abssissa o'qi sifatida olamiz. Natijada abssissa o'qini F nuqta ikki qismga ajratadi. Berilgan F nuqtadan to'g'ri chiziqqacha bo'lgan masofaning e soniga ko'paytmasini p bilan belgilab, quyidagi tengliklar bilan

a, b, c sonlarni kiritamiz. Koordinata boshini abssissa o'qining l to'g'ri chiziqni kesmaydigan qismida F nuqtadan c birlik masofada joylashtiramiz. Natijada koordinata boshidan l to'g'ri chiziqqacha bo'lgan masofa

kattalikka teng bo'ladi. Bu erda p₁ bilan F nuqtadan l to'g'ri chiziqqacha bo'lgan masofa belgilangan. Demak l to'g'ri chiziq tenglamasi

ko'rinishda bo'ladi. Ikkinchi koordinata o'qini l to'g'ri chiziqqa parallel o'tkazib, tekislikningM(x,y) nuqtasidan F nuqtagacha bo'lgan masofani r bilan, l to'g'ri
chiziqqacha bo'lgan masofaga d bilan belgilasak,
r = ed
tenglikdan
71

tenglamani olamiz.