Иккинчи боб

2-teorema. Ushbu tenglik o`rinli.




I s b o t. Mumkin bo`lgan barcha k-elementli birikmalarni olamiz. Ixtiyoriy birikma olib, uning mumkin bo`lgan barcha k-elementli o`rin almashtirishlarini bajarsak, buning natijasida R<sub>k</sub> ta k-elementli o`rin almashtirishlarni xosil qilamiz. endi mumkin bo`lgan barcha k-elementli o`rin almashtirishlarni xosil qilish uchun barcha k-elementli birikmalarni olib, ularning xar biridan mumkin bo`lgan barcha k-elementli o`rin almashtirishlarni xosil qilish kerak.
Bunga asosan va turli birikmalardan xosil qilingan k-elementli o`rin almashtirishlar turli bo`lgani uchun barcha k-elementli o`rinlashtirishlar soni kombinatsiyalar soni ning o`rin almashtirishlar soni ga ko`paytmasiga teng, ya`ni
Bundan

tenglikni olamiz.
ni da birga teng deb xisoblaymiz, ya`ni
sonlar ikki xad yig`indisi (binomni) ixtiyoriy natural ko`rsatkichli darajaga ko`tarish masalalarida uchraydi.
3-teorema. Faraz qilaylik, va ixtiyoriy natural son bo`lsin. U xolda

Bu ayniyat Nyuton binomi formulasi deyiladi.
I s b o t. Faraz qilaylik . Ushbu ko`paytmani ko`ramiz. Bu ko`paytmada qavs ichidagi xadlarni ko`paytirib va x ning bir xil darajalarini o`z ichiga olgan xadlarni yig`ib, quyidagi ifodani olamiz:

bu erda

Shunday qilib, ushbu to`plamning mumkin bo`lgan barcha k-elementli birikmalari elementlari ko`paytmasining yig`indisiga teng. Xususan, agar deb olsak, u xolda . Bunga asosan
Xulosa:
Men ushbu mustaqil ishni bajarish jarayonida Binominal koeffitsiyent, jumladan Nyuton binomi haqidagi bilimlarimni mustahkamlab ko’plab ma’lumotlarga ega bo’ldim. Bu ma’lumotlar yordamida ko‘phadlar ustida amallar qo’llashning qulaylik taraflarini ko’rdim.
Foydalanilgan adabiyotlar:

1. 
   Kambinatorika va Graflar naziyasi H. Torayev , I. Azizov, S. Otaqulov
   

Foydalanilgan internet saytlar:

1. 
   https://www.google.com/
   
2. 
   https://library.ziyonet.uz
   
3. 
   https://uz.wikipedia.org/wiki/Nyuton_binomi
   
4. 
   http://www.hozir.org/