Иккинчи боб

6-teorema. guruxlarning gomomorfizmi bo`lsin. U xolda:
1) A<sub>1</sub> guruxning e birlik elementi bu gomomorfizmda A<sub>2</sub> ning birlik elementiga o`tadi:
2) ixtiyoriy a A₂ element uchun

I s b o t. A₁ guruxda e birlik element bo`lgani uchun . Bundan (2) xossaga ko`ra

Bu tenglikdan 3-teoremaga asosan f(e) element guruxning birlik elementi ekanligi kelib chiqadi.
Bunga asosan ixtiyoriy a A₁ uchun

tenglik o`rinli, ya`ni

Teorema isbotlandi.
N a t i j a. Gomomorfizmda guruxning obrazi guruxdir.
I s b o t. gurux, gomomorfizm bo`lsin. to`plamning S' dagi amalga nisbatan gurux ekanligini ko`rsatamiz. Ixtiyoriy elementlar uchun shunday elementlar mavjudki, U xolda
Agar birlik element bo`lsa, u xolda 6-teoremaga asosan element guruxda birlik element. Demak . Agar bo`lsa, u xolda shunday element mavjudki, . U xolda ushbu element uchun
Shunga o`xshash munosabatni olamiz. Demak element a' element uchun teskari element. 4-teoremaning natijasiga ko`ra to`plam S guruxning qism guruxidir.
Ta`rif. Biektsiya bo`lgan gomomorfizm izomorfizm deyiladi.
Izomorfizm biekqiya bo`lgani uchun 3-§ 3-teoremaga ko`ra unga teskari bo`lgan biektsiya mavjud.
7-teorema. izomorfizmga tpeskari bo`lgan biektsiya xam izomorfizmdir.
Isbot. Ixtiyoriy elementlarni olamiz. U xolda biektsiya bo`lgani uchun shunday elementlar mavjudki, Bulardan va
Teorema isbotlandi.
Misol: R xaqiqiy sonlar to`plami qo`shish amaliga nisbatan kommutativ guruxni xosil qiladi. - barcha
musbat xaqiqiy sonlar to`plami ko`paytirish amaliga nisbatan kommutativ guruxni xosil qiladi. Ushbu funkqiya R ni ga biektsiyasi bo`lib,

xossaga ega, ya`ni ni ga izomorfizmidir. Bunga teskari izomorfizm ushbu funktsiyadir. Buning uchun (2) xossa ushbu ko`rinishga ega.
guruxni guruxga aks ettiruvchi izomorfizm mavjud bo`lsa, bu guruxlar izomorf deyiladi.
Guruxlarning izomorfligi refleksivlik, simmetriklik va tranzitivlik xossalariga ega (isbotlang!), ya`ni ekvivalentlik munosabatidir.
Izomorf guruxlarni ulardagi binar amalning xossalari nuqgai nazaridan biri-biridan farq qilib bo`lmaydi.