Иккинчи боб

GURUXLAR

A yarimgurux quyidagi ikkita shartni qanoatlantirsa, U gurux deyiladi:

1. 
   shunday element mavjudki, xar qanday element uchun (o`ng birlik elementning mavjudligi);
   
2. 
   xar qanday element uchun shunday b element
   mavjudki, (o`ng teskari elementning mavjudligi).
   

Agar A guruxda xar qanday a,b elementlar uchun tenglik bajarilsa, u kommutativ (abel’) gurux deb ataladi. Kommutativ guruxlar uchun ko`pincha binar amalning belgisi o`rniga qo`shish belgisi ishlatiladi.
Misollar:
1) Z butun sonlar to`plami qo`shish amaliga nisbatan kommutativ guruxni xosil qiladi. Bunda gurux ta`rifining 1-shartidagi e elementi rolini 0 soni va 2-shartidagi b elementi rolini (-a) soni o`ynaydi.

2. 
   Shunga o`xshash Q ratsional sonlar va R xaqiqiy sonlar to`plamlari qo`shish amaliga nisbatan kommutativ guruxlarni xosil qiladi.
   
3. 
   va to`plamlari ko`paytirish amaliga nisbatan kommutativ guruxlarni xosil qiladi. Bunda e vazifasini 1 soni va 2-shartdagi b vazifasini soni o`ynaydi.
   

4) A to`plamning o`z-o`ziga barcha biekqiyalaridan ibo-
rat S(A) to`plam biektsiyalarning kompozitsiyasi amaliga
nisbatan gurux xosil qiladi. Bu aslida 3-§ dagi tasdiqlarda isbotlangan.


1-teorema. A-gurux bo`lsin. U xolda:

1. 
   undagi xar qanday a A uchun shartni qanoatlantiruvchi e element xar qanday a A uchun tenglikni xam qanoatlantiradi, ya`ni u birlik elementdir:
   
2. 
   berilgan a A uchun tenglikni qanoatlantiruvchi b element ba e tenglikni xam qanoatlantiradi , ya`ni b element a ga teskaridir.
   

I s b o t. Berilgan a A element uchun gurux ta`rifidagi 2-shartga ko`ra shunday b A element mavjudki, ab e. Bu B element uchun yana 2-shartga ko`ra shunday s A element mavjudki, bs e. U xolda bir tomondan Ikkinchi tomondan ko`paytirish amalining assotsiativligiga asosan Demak, Bu bilan b elementning a ga teskari ekanligi isbotlandi.
Bunga ko`ra ya`ni ixtiyoriy uchun , ya`ni e-birlik element.
Isbotlangan teoremaga ko`ra gurux ta`rifining 1-shartidagi e element birlik element zkan. 8-§ 2-teoremaga asosan birlik element yagona. Bu yagona birlik element guruxning birlik elementi (qo`shish amali belgisi ishlatilganda-guruxning nol’ elementi) deyiladi. Isbotlangan teoremaga ko`ra gurux ta`rifi 2-shartidagi b element a ga teskari ekan. 8-§ 3-teoremaga asosan a ga teskari element yagona; uni (qo`shish amali belgisi ishlatilganda) (-a) orqali belgilanadi.
Teskari elementning yagonaligiga asosan (qo`shish belgisi ishlatilganda Ixtiyoriy elementlar uchun Xaqiqatan, kommutativ guruxqa binar amal qo`shish amali bo`lsin. Bu xolda ixtiyoriy elementlar uchun a (-b) elementni a va b elementlarning ayirmasi deb ataladi va a-b kabi belgilanadi. Xususan, xar qanday a A uchun a-a . Ixtiyoriy a,b A elementlar uchun (a-b) va tengliklar o`rinli (isbotlang!).
2-teorema.A-gurux va a A bo`lsin. U xolda va ifodalar bilan berilgan aks ettirishlarning xar biri biektsiyadir.
I s b o t. Ixtiyoriy elementlar uchun

ya`ni

Xususan

birlik aks ettirishdir. Bundan ning teskarilanuvchiligi va 3-§ 3-teoremaga asosan uning biektsiya ekanligi kelib chiqadi. Ushbu aks ettirishning biektsiyaligi shunga o`xshash isbotlanadi.
Ixtiyoriyx uchun munosabatdan h ning teskarilanuvchiligi va 3-§ 3-teoremaga asosan biektsiyaligi kelib chiqadi.
N a t i j a. Agar x element A guruxda to`la o`zgarsa (ya`ni A dagi xar bir qiymatni faqat bir martadan qabul qilgan xolda A dagi barcha qiymatlarni qabul qilsa), u xolda o`zgaruvchilar xam A guruxda to`la o`zgaradi.
I s b o t. Natijaning isboti f<sub>a</sub> ,h va g<sub>a</sub> aks ettirishlarning biektsiya ekanligidan kelib chiqadi.
YArimguruxda ifodani xar qanday natural son uchun aniqlagan edik, endi uni ixtiyoriy n butun son uchun aniqlaymiz. qulaylik uchun a°-e deb olinadi. Agar n- manfiy butun son bo`lsa, Deb olinadi. Bu belgilashlardan ixtiyoriy n va m butun sonlar uchun ushbu

tengliklarning o`rinliligi bevosita kelib chiqadi.
A gurux kommutativ bo`lib, undagi amal sifatida qo`shish amali ishlatilgan xolda na ifodani ixtiyoriy n butun son uchun aniqlaymiz. Qulaylik uchun xar qanday a A uchun deb olinadi (bu erda 0-nol’ butun son, esa guruxning nol’ elementi). Agar n- manfiy butun son bo`lsa, na (-a) deb olinadi. Bu belgilashlarga asosan xar qanday n va m butun sonlar uchun (1) tengliklar ushbu

ko`rinishlarga ega bo`ladi.
A guruxning V qism to`plami shu guruxdagi amalga nisbatan gurux xosil qilsa, u A guruxning qism guruxi deyiladi.
Misollar:

1. 
   Shish amaliga nisbatan gurux bo`lgan Q raqional sonlar to`plamida Z butun sonlar to`plami qism guruxdir.
   
2. 
   Ko`paytirish amaliga nisbatan gurux bo`lgan to`plamda barcha musbat sonlardan iborat to`plam qism guruxdir.
   
3. 
   3-§ da kiritilgan A to`plamning N o`zgartirishlar guruxi S_A guruxning qism guruxidir.
   

3-teorema. Agar A guruxda aelement tenglikni qanoatlantirsa, u xolda a e ya`ni a birlik element bo`ladi.
Isbot. Bu a elementning teskarisini olamiz. U xolda

Bu teoremadan foydalanib, quyvdagi teoremani isbotlaymiz:
4-teorema. A- gurux va V uning qism guruxi bo`lsin. U xolda:

1.