|
ALGEBRAIK AMALLAR. YARIMGURUXLAR
Ta`rif. aks ettirishga A dagi o`rinli ( - ar) algebraik amal deyiladi. Bir o`rinli amallar - unar, ikki o`rinli amallar - binar, uch o`rinli amallar -ternar amallar deyiladi.
Misollar: 1) R xaqiqiy sonlar to`plamidagi qo`shish amali 2) R xaqiqiy sonlar to`plamidagi ko`paytirish amali 3) To`plamlarning kesishma amali: A V; 4) To`plamlarning yig`indisi amali A V; 5) va aks ettirishlarning kompozitsiyasi amali: 6) ta to`plamning kesishmasi amali 7) Berilgan 5 to`plamning barcha S qism to`plamlari uchun S S2 amal, ya`ni xar bir qism to`plamga uning dekart kvadrati mos qo`yiladi.
Bu erdagi 1), 2), 3), 4) va 5) misollardagi amallar-binar, 6) dagi n- o`rinli, 7) dagi-unar amallar.
Algebraik amallar ichida eng ko`p uchraydigani va eng muximi-binar amallardir.
Biror binar amal berilgan bo`lsin. Bu amalda elementning obrazi a va b elementlarning ko`paytmasi deyiladi va a b orqali belgilanadi. Boshqa, masalan, va xokazo belgilar xam ishlatiladi. Bu xollarda "ko`paytma" so`zi o`rniga mos ravishda boshqa so`zlar ishlatiladi. Xususan ab o`rniga a b ishlatilsa, "ko`paytma" so`zi o`rniga "yig`indi" so`zi ishlatiladi.
T a ` r i f . Agar xar qanday uchta a, b, s A elementlar uchun (ab)s a{b s) tenglik bajarilsa, bunday ab amal assoqiativ deyiladi.
T a ` r i f . Agar bo`sh bo`lmagan A to`plamda assotsiativ binar amal berilgan bo`lsa, bunday to`plam yarimgurux deyiladi.
Misollar: 1) N natural sonlar to`plami qo`shish amaliga nisbatan yarimgurux xosil qiladi;
2) N natural sonlar to`plami ko`paytirish amaliga nisbatan yarimgurux xosil qiladi;
3) Biror V to`plamning o`zini o`ziga barcha aks ettirishlari to`plami aks ettirishlarning kompozitsiyasi amaliga nisbatan 3-§ 1-teoremaga asosan yarimgurux xosil qiladi;
4) Biror S to`plamning barcha qism to`plamlari tizimi to`plamlarning yig`indisi amaliga nisbatan yarimgurux xosil qiladi.
A- biror yarimgurux bo`lsin. Unda 1 uchun va ixtiyoriy p > 1 uchun belgilashlarni kiritamiz.
1-teorema. Xar qanday natural sonlar va A yarimguruxning ixtiyoriy elementlari uchun
tenglik o`rinli.
I s b o t. Matematik indukqiya (m bo`yicha) yordamida isbotlaymiz. Agar 1 bo`lsa, bu xolda (2) tenglik ushby
tenglikka keladi. Bu tenglikning o`rinliligi esa (1) belgilashdan kelib chiqadi. Faraz qilaylik, (2) tenglik barcha k (k < m) sonlar uchun o`rinli bo`lsin:
U xolda yarimguruxdagi assotsiativlik xossasiga asosan
Matematik indukqiya qoidasiga ko`ra (2) tenglik is-botlandi.
Isbotlangan tenglik umumlashgan assotsiativlik qonuni deb ataladi. Bu qonun shuni ko`rsatadiki, ushbu ko`paytmaning qiymati uni xisoblashdagi n-1 ta ko`paytirish amalining qaysi tartibda bajarishiga
(ya`ni bu tartibni aniqlovchi qavslarni qanday qo`yishiga) bog`liq emas.
Ba`zan ko`paytma ko`rinishda xam yoziladi.
Agar ko`paytmada bo`lsa, uni ko`rinishda yoziladi. Bu belgilashlardan va (2) tenglikdan ixtiyoriy n va m natural sonlar va A yarimguruxning ixtiyoriy a elementi uchun ushbu
(3)
tengliklarning o`rinliligi bevosita kelib chiqadi.
Agar A yarimguruxda binar amalining belgisi sifatida a b qo`shish amali belgisi ishlatilsa, yuqorvdagi (1) ko`paytma o`rniga yig`indi paydo bo`ladi. Bu yig`indi ba`zan ko`rinishda yoziladi. Bu xolda (2) tenglik ushbu
ko`rinishlarga ega bo`ladi.
Agar bo`lsa, o`rniga yoziladi. Bu belgilashlarga ko`ra (3) tengliklar ushbu
ko`rinishlarga ega buladi ( ixtiyoriy natural sonlar).
T a ` r i f . A to`plamda binar amal berilgan bo`lsin. Agar elementxar qanday a A element uchun tenglikni qanoatlantirsa, bu e element berilgan amalga nisbatan birlik element deyiladi.
Agar A dagi binar amal qo`shish amali ko`rinishida olinsa, birlik element so`zi o`rniga nol’ element so`zi ishlatiladi.
A to`plamda berilgan xar qanday binar amal uchun birlik element mavjud bo`lavermaydi. Ammo
2-teorema. Agar A to`plamda berilgan binar amal uchun birlik element mavjud bo`lsa, u yagonadir.
Isbot. Faraz qilaylik e1,e2 elementlar va ixtiyoriy a A element uchun va tengliklar o`rinli bo`lsin. Bu tengliklarning birinchisida a sifatida e2 ni olsak, tengliklarni va ikkinchisida a sifatida e2 ni olsak, tengliklarni olamiz. Bulardan , tenglik kelib chiqadi. Teorema isbotlandi.
Agar A yarimgurux birlik elementga ega bo`lsa, bunday yarimgurux monoid deyiladi. 2-teoremaga asosan monoidda birlik element yagona.
A -monoid, e-undagi birlik element va a A- biror element bo`lsin. Agar A element tengliklarni qanoatlantirsa, bu element a ga teskari deyiladi. Agar bu ta`rifda A dagi binar amal uchun qo`shish amali belgisi ishlatilsa, "teskari" so`zi o`rniga "qarama-qarshi" so`zi ishlatiladi.
Xar qanday monoidda xam unda berilgan elementning teskarisi mavjud bo`lavermaydi. Ammo
3-teorema. Agar A monoidning berilgan a elementi uchun teskarisi mavjud bo`lsa, u yagonadir.
I s b o t. Faraz qilayliq, b1 va b2 elementlar a ga teskari bo`lsin. U xolda
Bulardan A,B- yarimguruxlar (monoidlar) bo`lsin. Agar aks ettirish shunday bo`lsaki, xar qanday x, u A uchun
tenglikni qanoatlantirsa, u A ning va V ga gomomorfizmi deyiladi.
M i s o l. R xaqiqiy sonlar to`plami ko`paytirish amaliga nisbatan monoidni xosil qiladi. Shunga o`xshash manfiy bo`lmagan barcha xaqiqiy sonlardan iborat V to`plam qo`paytirish amaliga nisbatan monoid xosil qiladi. Xar bir a R uchun a |a| moslik R ning V ga gomomorfizmini beradi, chunki
Do'stlaringiz bilan baham: |
