Иккинчи боб

Xususan

birlik aks ettirishdir. Bundan ning teskarilanuvchiligi va 3-§ 3-teoremaga asosan uning biektsiya ekanligi kelib chiqadi. Ushbu aks ettirishning biektsiyaligi shunga o`xshash isbotlanadi.
Ixtiyoriyx uchun munosabatdan h ning teskarilanuvchiligi va 3-§ 3-teoremaga asosan biektsiyaligi kelib chiqadi.
N a t i j a. Agar x element A guruxda to`la o`zgarsa (ya`ni A dagi xar bir qiymatni faqat bir martadan qabul qilgan xolda A dagi barcha qiymatlarni qabul qilsa), u xolda o`zgaruvchilar xam A guruxda to`la o`zgaradi.
I s b o t. Natijaning isboti f<sub>a</sub> ,h va g<sub>a</sub> aks ettirishlarning biektsiya ekanligidan kelib chiqadi.
YArimguruxda ifodani xar qanday natural son uchun aniqlagan edik, endi uni ixtiyoriy n butun son uchun aniqlaymiz. qulaylik uchun a°-e deb olinadi. Agar n- manfiy butun son bo`lsa, Deb olinadi. Bu belgilashlardan ixtiyoriy n va m butun sonlar uchun ushbu

tengliklarning o`rinliligi bevosita kelib chiqadi.
A gurux kommutativ bo`lib, undagi amal sifatida qo`shish amali ishlatilgan xolda na ifodani ixtiyoriy n butun son uchun aniqlaymiz. Qulaylik uchun xar qanday a A uchun deb olinadi (bu erda 0-nol’ butun son, esa guruxning nol’ elementi). Agar n- manfiy butun son bo`lsa, na (-a) deb olinadi. Bu belgilashlarga asosan xar qanday n va m butun sonlar uchun (1) tengliklar ushbu

ko`rinishlarga ega bo`ladi.
A guruxning V qism to`plami shu guruxdagi amalga nisbatan gurux xosil qilsa, u A guruxning qism guruxi deyiladi.
Misollar:

1. 
   Shish amaliga nisbatan gurux bo`lgan Q raqional sonlar to`plamida Z butun sonlar to`plami qism guruxdir.
   
2. 
   Ko`paytirish amaliga nisbatan gurux bo`lgan to`plamda barcha musbat sonlardan iborat to`plam qism guruxdir.
   
3. 
   3-§ da kiritilgan A to`plamning N o`zgartirishlar guruxi S_A guruxning qism guruxidir.
   

3-teorema. Agar A guruxda aelement tenglikni qanoatlantirsa, u xolda a e ya`ni a birlik element bo`ladi.
Isbot. Bu a elementning teskarisini olamiz. U xolda

Bu teoremadan foydalanib, quyvdagi teoremani isbotlaymiz:
4-teorema. A- gurux va V uning qism guruxi bo`lsin. U xolda:

1.