Икки тўгри чизик орасидаги бурчак

Ikki to‘gri chizik orasidagi burchakni aniqlash.


Reja:
1. To‘gri chizik va tekislikni kesishuvi.
2. Ikkinchi tartibli sirtlar xakida tushuncha. Ikkinchi tartibli sirtning umumiy tenglamasi.
3. Aylanma sirt.

Fazoda ikki to‘gri chizik orasidagi burchak sifatida fazoning istalgan nuktasidan shu to‘gri chiziklarga parallel utkazilgan ikki to‘gri chizikning tashkil kilgan burchaklaridan ixtiyoriy birini olamiz. Bu burchak 0 bilan P orasida uzgaradi. Agar L₁ va L₂ to‘gri chiziklar uzing kanonik tenlamalari bilan berilgan bo‘lsa ravshanki ular orasidagi burchak ularning yunaltiruvchi vektorlari orasidagi burchakka teng.

z

L₁ o
y

L₂

x
L₁ :

L₂ : bo‘lsa

(26.1)

Agar L₁ II L₂ bo‘lsa II bo‘lib (26.2)

(26.2) ikki to‘gri chizikning parallelik shartidir. Agar L₁ L₂ bo‘lsa bo‘lib (26.3)

(26.3) ikki to‘gri chizik perpendikulyarlik shartidir.
Endi to‘gri chizik bilan tekislik orasidagi burchakni topish masalasini karaylik: To‘gri chizik bilan uning tekislikdagi proeksiyasi orasidagi burchakka to‘gri chizik bilan tekislik orasidagi burchak deb aytiladi. (r – 37)


z

L

y
0

r - 37
x

To‘gri chizik tenglama bilan tekislik esa tenglama bilan berilgan bo‘lsin. To‘gri chizik bilan uning proeksiyasi orasidagi burchak urniga, tekislikning normal vektori bilan to‘gri chizikniyunaltiruvchi vektori orasidagi burchakni topish kulay. Xakikatan bo‘lganidan

(26.4)

Agar L II Q bo‘lsa bo‘lib (26.5)

(26.5) to‘gri chizik va tekislikning parallelik shartidir. Agar L II Q bo‘lsa bo‘lib (26.6)
(26.6) to‘gri chizik va tekislikning perpendikulyarlik shartidir.
To‘gri chiziq va tekislikni kesishuvi.

L to‘gri chizik (27.1) kvanonik tenglamasi bilan, Q tekislik (27.2) umumiy tenglamasi bilan berilgan bo‘lsin va ular uzaro parallel bo‘lsin. L to‘gri chizik bilan Q tekislikni kesishgan nuktasini topamiz, ya’ni (27.1) va (27.2) tenglamalar sistemasini yechimini topamiz: buning uchun (27.1) praporsiyani umumiy kiymatini bilan belgilaymiz va bu tenglamalardan x, y, z larni topamiz, ya’ni

, , , bulardan
, , (27.3)

(27.3) dagi x, y, z larning kiymatlarini (27.2) ga kuyamiz:

yoki
(27.4)

L to‘gri chizik va Q tekislik parallel bo‘lmaganidan (27.4) dan ni topamiz:

(27.5)

(27.5) ni (27.3) ga ko‘ysak to‘gri chizik bilan tekislikni kesishgan nuktasi xosil bo‘ladi. Agar bo‘lib bo‘lsa to‘gri chizik bilan tekislik kesishmaydi. Agar bo‘lib bo‘lsa, bu vaktda L to‘gri chizik ustida yotadi va ular cheksiz kup nuktada kesishadi.

MASALA: to‘gri chizik bilan tekislikning kesishish nuktasi topilsin.
YEChISh: , demak berilgan to‘gri chizik va tekislik parallel emas. Endi to‘gri chizik tenglamasini parametrik shaklga keltiramiz:
, , ,
x, y, z larni tekislikning umumiy tenglamasiga kuyamiz:

Demak berilgan to‘gri chizik va tekislikni kesishish nuktasi ekan.