Ikki o’zgaruvchining funksiyasi va hakozo ko’rinishlarda belgilanadi. Shuningdek

MASHQLAR

Quyidagi funksiyalarning aniqlanish sohalari topilsin.

1.		4.
2.		5.
3.		6.
Quyidagi limitlar hisoblansin.
1.		3.
2.		4.
Quyidagi funksiyalarni uzluksizlikka tekshirilsin.
1.		4.
2.		5.
3.		6.

5.1. Ko’p o’zgaruvchili funksiya, uning aniqlanish va qiymatlar sohasi, limiti, uzluksizligi va xususiy hosilalari.

4. 
   Ta’rif. Agar biror D to’plamning har bir juft (x;y) haqiqiy sonlariga biror qonun yoki qoida yordamida boshqa bir E to’plamdan yagona z haqiqiy son mos qilib quyilgan bo’lsa, u holda D to’plamda ikki haqiqiy x va y o’zgaruvchilarning funksiyasi aniqlangan deb ataladi. Bu yerda x va y erkli o’zgaruvchilar yoki argumentlar, z esa erksiz o’zgaruvchi yoki funksiya deb yuritiladi.
   

Ikki o’zgaruvchining funksiyasi va hakozo ko’rinishlarda belgilanadi. Shuningdek, D va E larni mos ravishda ikki o’zgaruvchili funksiyaning aniqlanish va o’zgarish sohalari deb ataladi. Ikki argumentli funksiyaning aniqlanish sohasi D, xOy tekislikning biror chiziqlar bilan chegaralanagan qismi sifatida ifoda etiladi hamda agar chiziqlar D sohada yetsa uni yopiq soha deb atalib bilan belgilanadi, aksincha D ni ochiq soha deb yuritiladi. Biror funksiyaning grafigi deyilganda fazodagi shunday nuqtalar to’plamidan tashkil topgan sirt tushuniladiki, u sirtdagi nuqtalarning koordinatalari tenglamani qanoatlantiradi.
Ikki argumentli funksiyaning ta’rifini uch va undan ortiq haqiqiy o’zgaruvchilarning funksiyalari uchun ham osonlikcha umumlashtirishi mumkin.
Ko’p argumentli funksiyalarga doir bundan buyongi tushunchalarni faqat ikki argumentli funksiyalarga moslab bayon etamiz, chunki ularni uch va undan ortiq o’zgaruvchili funksiyalarga ko’chirish hyech qanday qiyinchiliklarsiz amalga oshiriladi.

4. 
   Ta’rif. Agar oldindan berilgan istalgancha kichik son uchun shunday bir kichik son mavjud bo’lib, va tengsizliklarni qanoatlantiruvchi barcha x va y lar uchun tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda A sonini funksiyaning tayinli nuqtadagi limiti deb ataladi va uni quyidagicha yoziladi:
   

Ta’rif. Agar funksiya biror nuqtada va uning atrofida aniqlangan bo’lib, bo’lsa, u holda mazkur funksiyani nuqtada uzluksiz funksiya deb ataladi. Biror D soxaning barcha nuqtalarida uzluksiz bo’lgan funksiyani u sohada uzluksiz deyiladi. funksiya uchun uzluksizlik shartlari bajarilmagan nuqtalarni uzilish nuqtalari deb atalib, funksiyani esa mazkur nuqtalarda uzilishga ega deyiladi.
Eslatib o’tamizki, ikki o’zgaruvchining funksiyalari ayrim nuqtalarda yoki butun bir chiziqlarda uzilishga ega bo’lishlari mumkin.


1-Misol. funksiyaning aniqlanish sohasi topilsin.
Yechilishi. Mazkur funksiyaning aniqlanish sohasi shunday (x; y) juft sonlardan iboratki, ular uchun yoki shart bajarilishi darkor. Bu esa geometrik jihatdan markazi (0, 0) nuqtada bo’lib, radiusi 2 dan iborat bo’lgan doiradan tashqarida yotuvchi xOy tekislikdagi nuqtalar to’plamini ifoda etadi.




2

-2

2


-2

2-Misol. funksiyaning aniqlanish sohasi topilsin.
Yechilishi. Bu funksiyaning aniqlanish sohasi va tengsizliklarni qanoatlantiruvchi barcha juft (x, y) sonlardan iborat, ya’ni: .
Demak, funksiya lar bilan chegaralangan to’g’ri to’rtburchakda aniqlangan ekan.

0


3-Misol. hisoblansin.
Yechilishi.

4-Misol. funksiya uzluksizlikka tekshirilsin.
Yechilishi. Ushbu funksiya tekislikning O(0,0) nuqtasidan tashqari barcha nuqtalarda uzluksiz bo’lib, O(0,0) da uzilishga ega (chunki funksiya, O(0,0) da aniqlanmagan).