Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari. Yo‘nalish bo‘yicha hosila va gradient



Download 253,04 Kb.
bet6/8
Sana10.07.2022
Hajmi253,04 Kb.
#773544
1   2   3   4   5   6   7   8
Bog'liq
king

5-TA’RIF: Fazodagi S sirtda yotuvchi va uning M0(x0, y0, z0) nuqtasidan o‘tuvchi barcha egri chiziqlarining shu nuqtadagi barcha urinmalaridan hosil bo‘lgan P tekislik S sirtning M0(x0, y0, z0) nuqtasidagi urinma tekisligi deb ataladi.
3-TEOREMA: Agar z=f(x,y) funksiyaning grafigi S sirtdan iborat bo‘lsa, bu sirtning biror M0(x0, y0, z0)= M0(x0, y0, f(x0, y0)) nuqtasida urinma P tekislik mavjud bo‘lishi uchun funksiya shu nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishi zarur va yetarli. Bu teoremani isbotsiz qabul etamiz.
Bunda df to‘la differensial S sirtning M0(x0, y0, z0) nuqtadagi urinma tekisligi applikatasining orttirmasiga teng bo‘ladi va bu tasdiq to‘la differensialning geometrik ma’nosini ifodalaydi. Bu holda S sirtning M0(x0, y0, z0) nuqtasiga o‘tkazilgan P urinma tekislik tenglamasi z f (x0, y0)  fx(x0, y0)(x x0)  fy(x0, y0)(y y0) (14)
ko‘rinishda bo‘lishini keltirib chiqarish mumkin.
Masalan, z=f(x,y)=x22xy+y2x+2y funksiya bilan aniqlangan S sirtning M(1,1,1) nuqtasiga o‘tkazilgan urinma tekislik tenglamasini topamiz. Bunda xususiy hosilalar mavjud, uzluksiz va fx(1,1)  (2x  2y 1) xy11  1, fy(1,1)  (2x  2y  2) xy11  2 ,
f(1,1)=1 bo‘lgani uchun, (14) tenglikka asosan izlangan urinma tekislik tenglamasi
z–1=–(x–1)+2(y–1) => x–2y+z=0
ekanligini aniqlaymiz.
(5) tenglikdan ko‘rinadiki, agar z=f(x,y) funksiya M(x,y) nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, unda u bu nuqtada uzluksiz bo‘ladi. Haqiqatan ham, bu holda lim f  lim (Ax By x y)  0
x0 x0 y0 y0
va, ta’rifga asosan, funksiya M(x,y) nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
Ammo teskari tasdiq umuman olganda o‘rinli emas, ya’ni funksiyani biror M(x,y) nuqtada uzluksiz ekanligidan uni bu nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishi kelib chiqmaydi.
Masalan, f(x,y)=|x|(y+1) funksiyani O(0,0) nuqtada qaraymiz. Bu nuqtada uning to‘la orttirmasini uchun

f f (0 x,0 y)  f (0,0) xy  lim f  lim xy  0
x0 x0 y0 y0
tenglik o‘rinli ekanligidan funksiyani uzluksizligi kelib chiqadi. Endi bu nuqtada funksiyaning x bo‘yicha xususiy orttirmasini qaraymiz:

x f f (0  x,0)  f (0,0)  f (x,0)  x .
Bu yerdan ko‘rinadiki, O(0,0) nuqtada funksiyaning x bo‘yicha xususiy hosilasi mavjud emas, chunki ∆x→0 bo‘lganda |∆x|/∆x nisbatning limiti mavjud emas. Demak, O(0,0) nuqtada funksiya uzluksiz, ammo differensiallanuvchi emas.
Yuqorida isbotlangan 2-teoremadan ushbu natija kelib chiqadi.
NATIJA: Agar z=f(x,y) funksiyaning fx , fy xususiy hosilalari M(x,y) nuqta va uning biror atrofida aniqlangan hamda uzluksiz bo‘lsa, unda bu funksiya M(x,y) nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
Haqiqatan ham bu shartlarda funksiya M(x,y) nuqtada differensiallanuvchi va shu sababli uzluksiz bo‘ladi.
Endi to‘la differensialning tatbig‘iga doir bir masalani qaraymiz. Buning uchun yuqoridagi (12) tenglikda z=f(x,y) funksiyaning x va y argument orttirmalari kichik sonlardan iborat deb olamiz. Bu holda bu tenglikda γ1x2y qo‘shiluvchi ham kichik son bo‘ladi. Shu sababli (12) tenglikda bu qo‘shiluvchini hisobga olmasak, undan quyidagi taqribiy tengliklar kelib chiqadi:

f df f (x  x, y  y)  f (x, y)  f (x, y) dx  f (x, y) dy
x y
f (x  x, y  y)  f (x, y) f (x, y) x f (x, y) y . (15)
x y
Bu formuladan foydalanib, z=f(x,y) funksiyaning hisoblash uchun “noqulay” bo‘lgan N(x+x, y+y) nuqtadagi qiymati uning hisoblash uchun “qulay” bo‘lgan M(x,y) nuqtadagi qiymati yordamida taqriban topilishi mumkin.

Misol sifatida f (x, y)  x2 y2 funksiyaning N(2.98, 4.03) nuqtadagi
qiymatini, ya’ni 2.982  4.032 ildizni taqribiy qiymatini topamiz. Bunda “qulay” nuqta M(3,4) bo‘ladi, chunki unda funksiyaning qiymati oson hisoblanadi va f(3,4)=5 bo‘ladi. Bu holda ∆x=2.98–3=–0.02, ∆y=4.03–4= 0.03 va y4y4
2x 68
fx(3,4)  2 y2 x3  5 1.2, fy(3,4)  x3 5 1.6 .
x
Bu natijalarni (15) taqribiy formulaga qo‘yib,
f (2.98,4.03)  2.982  4.032 51.2(0.02) 1.60.035.024 ekanligini topamiz. Bu ildizning uch xona aniqlikdagi qiymati 5.012 ekanligidan olingan taqribiy natijaning aniqligi haqida tasavvur hosil qilishimiz mumkin.

Download 253,04 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish