Ikki o’lchamli panjarada ikki zarrachali gamiltonianlarning spektral xossalari

(3) tenglikni quydagi ko’rinishda yozamiz

(6) ni (4) va (5) ga qo’yib, juft funksiya ekanligidan quydagi tenglamalar sistemasini olamiz

sonining ta’rifiga ko’ra barcha uchun natural son bo’ladi. funksiyaning har bir argumenti davriy, davri barcha uchun . Endi

ekanligini ko’rsatamiz.

Darhaqiqat, agar toq (juft) son bo’lsa, almashtirish olsak, (9) tenglikning chap tomondagi integralda

ga ega bo’lamiz. Quydagi elementar tenglikdan

va (9) tenglikdan

(10) tenglikga ko’ra (7) va (8) ifodalar

shaklini oladi.

noma’lumlarning uchun chiziqli tenglamalar sistemasining diterminanti

shaklga ega.

Agar da operatorning xos qiymati

Ko’rsatish mumkinki, (10) ga muvofiq barcha da natural quydagi tenglikni olamiz.

Shuning uchun quydagi tenglikni olamiz

Bu yerdan

Teskarisi, bo’lsin. U holda qandaydir da



bo’ladi.

U holda , funksiyalar operatorning xos qiymatlariga mos xos funksiyalari bo’ladi. funksiyaning nolining karraliligi operatorning xos qiymati karraliligiga mos keladi. Lemma isbotlandi.