Ikki karrali integralning ta`rifi va uning asosiy xossalari Uch o‘lchovli integral va uning asosiy xossalari Misollar yechis 1

Teorema. funksiya sohada integrallanuvchi bo‘lsa, u holda o‘zgarmas son mavjudki,

bo‘ladi. Bu yerda - sohaning yuzasi.

Natija. Agar bo‘lib, -yopiq bo‘lsa, unda nuqta topiladiki

bo‘ladi.

Teorema. Agar funksiya sohada integrallanuvchi bo‘lib, u shu sohada o‘z ishorasini o‘zgartirmasa va bo‘lsa, u holda nuqta topiladiki,

bo‘ladi.

Ikki karrali integrallarni hisoblash. Ikki karrali integrallar amaliyotda takroriy integralga keltirish yordamida hisoblanadi. Biz soha to‘g‘ri to‘rtburchakli va egri chiziqli trapetsiya bo‘lgan 2 ta holda ikki karrali integralni takroriy integralga keltirish haqidagi teoremalarni keltiramiz.

Teorema. funksiya sohada berilgan va integrallanuvchi bo‘lsin. Agar har bir fiksirlangan da

integral mavjud bo‘lsa, u holda ushbu

takroriy integral mavjud bo‘lib,

(4)

tenglik o‘rinli bo‘ladi.

Teorema. funksiya sohada integrallanuvchi bo‘lib, ixtiyoriy fiksirlangan da

mavjud bo‘lsa, u holda

integral ham mavjud bo‘ladi va

(5)

tenglik bajariladi.

Endi soha

egri chiziqli trapesiya ko`rinishida berilgan bo‘lib, va bo‘lsin.

Teorema. funksiya sohada berilgan va integrallanuvchi bo‘lsin. Agar fiksirlangan uchun

integral mavjud bo‘lsa, u holda

mavjud bo‘ladi va

(6)

tenglik bajariladi.

Agar soha

ko`rinishda bo`lib, va bo`lsa, unda quyidagi teorema o`rinli bo`ladi.

Teorema. funksiya sohada integrallanuvchi bo`lib, fiksirlangan uchun

mavjud bo`lsa, unda

mavjud va

(7) boladi

• 
  2 -uch o‘lchovli soha bo‘lib, u yopiq sirt bilan chegaralangan bo‘lsin. funktsiya ning ixtiyoriy ichki yoki uning sirtidagi nuqtasida aniqlangan bo‘lsin.
  

Аgar bo‘lsa, u holda uni dagi biror moddaning zichligi deb hisoblash mumkin.

ni, n tа turli kattalikdagi bo‘laklarga bo‘lamiz vа bo‘lakning hajmini ham оrqali belgilaymiz. Har bir bo‘lakchadan ixtiyoriy ravishda bittadan nuqta olib, оlingan nuqtalarda funktsiyaning qiymatlarini hisoblaymiz vа

(1)

yig‘indini tuzamiz.

Та’rif. Аgar bo‘lakchalardan eng kattasini diatmetri nolga intilganda (1) yig’indi chekli limitga ega bo’lsa, uning qiymatiga funktsiyadagi V bo’yicha olingan uch o‘lchovli integral deyiladi vа

(2)

deb belgilanadi.

Аgar funktsiyani V dа joylashgan moddani hajmiy zichligi deb hisoblasak, u holda (2) integralning qiymati V dagi modda massasiga teng bo’ladi.

Uch karrali integralning xossalari

1-хоssa. Аgar V=V₁+V₂ bo’lsa, u holda

J_V=J_V1+J_V2 (3)

bo’ladi.