|
2-teorema. Agar funksiya da uzluksiz bo‘lsa, u holda u shu sohada integrallanuvchi bo‘ladi.
Isboti. SHartga ko‘ra funksiya sohada uzluksiz bo‘lgani uchun u shu sohada tekis uzluksiz bo‘ladi. U holda Kantor teoremasidan kelib chiqqan natijaga ko‘ra (..........), son olinganda ham, shunday son topiladiki, sohaning diametri bo‘lgan ixtiyoriy bo‘linishi olinganda ham , bu bo‘linishlarning har bir bo‘lagida funksiyaning tebranishi bo‘ladi. sohaning diametri bo‘lgan ixtiyoriy bo‘linishiga mos kelgan Darbu yig‘indilari ayirmasini qaraylik:
.
Bundan bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, 1-teoremaga asosan uzluksiz funksiya sohada integrallanuvchi bo‘ladi. Teorema isbot bo‘ldi.
1-lemma. sohada nol yuzga ega bo‘lgan chiziq berilgan bo‘lsin. U holda son olinganda ham, shunday son topiladiki, sohaning diametri bo‘lgan bo‘linishi olinganda, bu bo‘linishning chiziq bilan umumiy nuqtaga ega bo‘lgan bo‘laklari yuzlarining yig‘indisi dan kichik bo‘ladi.
Isboti. SHartga ko‘ra chiziq nol yuzga bo‘lgani uchun uni yuzi dan kichik bo‘lgan ko‘pburchak bilan o‘rash mumkin. chiziq bilan ko‘pburchak chegarasi umumiy nuqtaga ega emas deb, ular orasidagi masofani qaraymiz. Bu chiziqlar orasidagi masofa o‘zining eng kichik qiymati ga erishadi. Haqiqatdan ham yuqoridagi ko‘rsatilgan chiziqlar o‘zlarining parametrik tenglamalari bilan berilgan bo‘lsin:
Bunda funksiyalarning har biri argumentlarining uzluksiz funksiyalari. U holda bu egri chiziqlar ixtiyoriy nuqtalari orasidagi masofa
to‘rt burchakda ning uzluksiz funksiyasi bo‘ladi. SHuning uchun u yuqoridagi ko‘rsatilgan to‘rtburchakda o‘zining eng kichik qiymatiga erishadi. va chiziqlar o‘zaro kesishmaganligi uchun, ular orasidagi eng kichik masofa bo‘ladi.
Agar sohaning diametri bo‘lgan bo‘linishi olinganda, bu bo‘linishning chiziq bilan umumiy nuqtaga ega bo‘lgan bo‘laklari butunlay ko‘pburchakning ichida joylashadi. Demak, bunday bo‘laklar yuzlarning yig‘indisi berilgan dan kichik bo‘ladi. Lemma isbot bo‘ldi.
3-teorema. Agar funksiya chegaralangan yopiq sohada chegaralangan va bu sohaning chekli sondagi nol yuzga ega bo‘lgan chiziqlarida uzilishga ega bo‘lib, qolgan barcha nuqtalarida uzluksiz bo‘lsa, bu funksiya sohada integrallanuvchi bo‘ladi.
Isboti. Soddalik (qulaylik) uchun funksiya sohada bitta nol yuzli chiziqda uzilishga ega bo‘lib, qolgan nuqtalarida uzluksiz bo‘lsin.
sonni olib, chiziqni yuzi berilgan dan kichik bo‘lgan nol yuzli chiziqning ta’rifiga asosan ixtiyoriy ko‘pburchak bilan o‘raymiz (2-chizma).
Natijada soha va sohalarga ajraladi (2-chizma). ko‘pburchakning chegarasi chekli sondagi siniq chiziqlardan iborat bo‘lib, ularning har biri nol yuzli chiziqlardir. SHartga ko‘ra funksiya \ - sohada - soha sohadan ning ichki qismini olib tashlangan soha) uzluksiz bo‘lgani uchun u bu sohada tekis uzluksiz ham bo‘ladi. SHunday qilib berilgan uchun shunday son topilib, sohaning diametri bo‘lgan bo‘linishning har bir bo‘lagidagi funksiyaning tebranishi bo‘ladi. Yuqoridagi 1-lemmaga asosan, shunday son topiladiki, sohaning diametri bo‘lgan bo‘linish olinganda, bu bo‘linishning ko‘pburchak bilan umumiy nuqtaga ega bo‘lgan bo‘laklari yuzlarining yig‘indisi dan kichik bo‘ladi. deb, sohaning diametri bo‘lgan bo‘linishini qaraymiz. Bu bo‘linishga nisbatan funksiyaning Darbu yig‘indilarini tuzib, ularning ayirmasini qaraymiz:
(10)
(10) yig‘indining ko‘pburchakdan tashqarida joylashgan bo‘laklarga mos hadlaridan iborat yig‘indisi bo‘lsin. (10) yig‘indining qolgan barcha hadlaridan tashkil topgan yig‘indisi esa, bo‘lsin. SHunday qilib (10) yig‘indisi ikki qismdan iborat bo‘ladi:
Ma’lumki, \ sohadagi bo‘laklarda bo‘lganligidan
(11)
Agar funksiyaning sohadagi tebranishini deb belgilasak, u holda
bo‘ladi. Ravshanki, ko‘pburchak ichida butunlay yotgan bo‘linishning bo‘laklari yuzlarining yig‘indisi dan kichik hamda ko‘pburchak chegarasi bilan umumiy nuqtaga ega bo‘lgan bo‘laklar yuzlarining yig‘indisi ham dan kichik bo‘ladi. U holda SHunday qilib,
)
Demak,
Bundan, kelib chiqadi. (9) ga asosan, funksiyaning sohada integrallanuvchi ekanligi kelib chiqadi. Teorema isbot bo‘ldi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
