Ikki karrali integralning ta’rifi. Ikki karrali integralning xossalari. Iккi кarrali integralni hisoblash

Iккi кarrali integralni hisoblash.
B iror D sohada uzluksiz bo’lgan z = f (x, y) funksiyadan olingan ikki o’lchovli integralni hisoblash talab etilsin.
Ta’rif. Agar koordinata o’qlariga parallel va D sohani kesib o’tuvchi to’g’ri chiziqlar Z konturni ikki nuqtada kesib o’tsa, D soha to’g’ri soha deyiladi.
Z yopiq kontur bilan chegaralangan D soha to’g’ri soha bo’lsin:
T eorema. z=f (x, y) uzluksiz funksiyaning D to’g’ri soha bo’yicha olingan ikki o’lchovli integrali funksiyaning o’sha D soha bo’yicha olingan ikki karrali integraliga teng, ya’ni:
(7)
Xuddi shuningdek, D to’g’ri sohani quyidagicha aniqlash mumkin:
Bu holda (8) tenglik o’rinlidir. Bundan
(9)
ekanligi kelib chiqadi.
Demak, karrali integrallarning integrallash tartibini o’zgartirish mumkin. Qaysi biri hisoblash uchun qulay bo’lsa, misollar ishlash vaqtida shunisidan foydalanamiz.
1 -misol. integralda integrallash tartibini o’zgartiring.
Masala shartiga ko’ra D soha –1≤ x ≤ 1, kabi ifodalanadi. Bu soha tasvirini 3-rasmda ko’rish mumkin.
ekanligidan
2 -misol. karrali integralni hisoblang, bu yerda D soha y=x² va y=x chiziqlar bilan chegaralangan.

Yechish: Rasmdan a =1; b =1; y₁(x)=x²; y₁(x)=x; y₁(x) ≤  y₂(x); 0 ≤ x ≤ 1. Formulaga ko’ra

Ikki karrali integralda o’zgaruvchilarni almashtirish.
ko’rinishdagi ikki karrali integralni qaraymiz,bunda .
х = f (u, v); y =  (u, v) desak, u holda dx = ; dy = . Ikkinchi tomondan, .

Birinchi integralda dx = 0 desak (a ≤ x ≤ b), , ya’ni .

Bu ifodani dy uchun yuqorida yozilgan tenglikka qo’yib,

ni olamiz. Bundagi ifodaf (u, v) va(u, v) funksiyalarningYakobiani (Yakobi determinanti) deyiladi (Yakobi Karl Gustav Yakob – nemis matematigi (1804-1851).
Bundan ni olamiz. Bundagi birinchi integralda v = const, dv = 0 deb qarasak, kelib chiqadi. Integrallash tartibini o’zgartirib,
ikki karrali integralda o’zgaruvchilarni almashtirish formulasini olamiz:
. (10)

Bu formula yordamida ikki karrali integralni qutb koordinatalarida hisoblash formulasini olish mumkin. ekanligidan, Yakobi determinantini hisoblasak

bo’ladi. Demak . (11)
Bu yerda  – yangi soha,