|
2) differensial operatorning chegaraviy shartlarni qanoatlamtiruvchi Grin funksiyasini tuzing.
Yechish. Ma’lumki, bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi ko’rinishda yoziladi. U holda bo’ladi. Bularni va chegaraviy shartlarni e’tiborga olib, tengliklarga ega bo’lamiz. Demak, u holda tenglamaning bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi bo’ladi. Agar bo’lsa, trivial yechimga ega, bo’lsa, trivial bo’lmagan bo’lmagan yechimga ega bo’lamiz. Shuning uchun umumlashgan Grin funksiyasini tuzish lozim bo’ladi. yechimni normallashtirsak, kelib chiqadi. Endi , ya’ni tenglamaning umumiy yechimini topamiz:
Demak, umumlashgan Grin funksiyasi quyidagi
ko’rinishda izlaymiz. Bu funksiyani chegaraviy shartlarga bo’ysundirsak, tengliklar va
tenglamalar sistemasi kelib chiqadi. Oxirgi sistemani yechib, larni topamiz: Shunga ko’ra, umumlashgan Grin funksiyasi quyidagi ko’rinishga keladi:
Buni umumlashgan Grin funksiyasi ta’rifining birinchi shartlariga bo’ysundirib
algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.
Bu sistemani yechib, quyidagilarni topamiz:
.
Bularni o’rniga qo’ysak, umumlashgan Grin funksiyasi
ko’rinishga keladi. noma’lumni topish uchun umumlashgan Grin funksiyasining normallangan yechim bilan ortoganal bo’lim shartidan foydalanamiz, ya’ni
tenglikdan foydalanamiz. ni bu shartga qo’yib,
ni topamiz. ning bu qiymatini funksiyaning oxirgi formulasiga qo’ysak, o’rganilayotgan masalaning umumlashgan Grin funksiyasi hosil bo’ladi.
2.2-§. Chegarada buziladigan ikkinchi tartibli differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar
Agar va funksiyalar oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo’lib, bo’lsa, ushbu
(2.2.1)
tenglama chegarada buziladigan ikkinchi tartinbli differensial tenglama deyiladi. Bunda ko’pincha funksiya uchun tengsizlik bajariladi deb qaraladi.
(2.2.1) differensial tenglama uchun quyidagicha chegaraviy shartlar bilan qo’yilgan masalalar qaraladi:
Agar bo’lsa,
(2.2.2)
Agar bo’lsa,
(2.2.3)
{(2.2.1), (2.2.2)} masalani qaraylik. Agar {(2.2.1), (2.2.2)} masalaning yechimini
ko’rinishda ifodalash mumkin bo’lsa, bu formuladagi funksiya {(2.2.1), (2.2.2)} masalaning Grin funksiyasi deyiladi.
funksiyani tuzishga kirishamiz. Buning uchun (2.2.1) ternglamaning umumiy yechimini topamiz. (2.2.1) ni integrallab,
tenglikka yoki bu yerda Dirixle formulasidan foydalanib,
(2.2.4)
tenglikka ega bo’lamiz. Bundan chegaraviy shartga asosan chegaraviy shartga asosan esa
tenglik kelib chiqadi, bu yerda
.
Topilganlarni (2.2.4) ga qo’yamiz:
Bu yerdagin oraliq bo’yicha integralni va oraliqlar bo’yicha integrallarga ajratsak va
,
tengliklarni e’tiborga olsak, (*) tenglik
Ko’rinishda yoziladi. Bu yerda
belgilash kiritsak, oxirgi tenglikni quyidagi
ko’rinishda yozish mumkin bo’ladi. U holda yuroqidagi ta’rifga asosan funksiya {(2.2.1), (2.2.2)} masala uchun Grin funksiyasi bo’ladi. Bu yerda
tengliKlarni e’tiborga olsak, Grin funksiyasining quyidagicha ko’rinishiga ega bo’lamiz:
(2.2.5)
Bu Grin funksiyasi quyidagi xossalarga ega ekanligi osongina isbotlanadi:
1) Grin funksioyasi kvadratda uzluksiz;
2) bo’lganda tenglik bajariladi;
3) Grin funksiyasi (2.2.2) shartlarni qanoatlantiradi;
4) .
Endi {(2.2.1),(2.2.2)} masalaning yechimini topamiz. (2.2.1) tenglamaning umumiy yechimi (2.2.5) formula bilan aniqlaanadi. Undan chegaraviy shartga asosan esa
tenglik kelib chiqadi.
Topilganlarni (2.2.4) ga qo’yib,
tenglikka ega bo’lishimiz, bu yerdagi funksiya
ko’rinishga ega bo’lib, u {(2.2.2), (2.2.3)} masalaning Grin funksiyasi bo’ladi.Bu funksiyaning xossalariga to’xtalamiz:
1) Grin funksiyasi to’g’ri to’rtburchakda uzluksiz (bu yerda );
2) tengsizlik o’rinli.
Bu tengsizlikni isbotlaymiz:
Bu yerda ikkinchi qo’shiluvchida integrallash tartibini o’zgartirib,so’ngra x ni t bilan, t ni esa x bilan almashtirsak va tenglikni e’tiborga olsak,
tenglik kelib chiqadi. U holda
3) bo’lganda tenglikni bajariladi;
4) Grin funksiyasi (2.2.2) chegaraviy shartlarni bajaradi;
5)
Oxirgi 3), 4) va 5) xossalar ham Grin funksiyasining formulasidan foydalanib qiyinchiliksiz isbotlandi.
XULOSA
Bugungi kunda respublikamizda ta’lim tizimi tubdan isloh qilinmoqda. Barcha kurslardagi singari “Oddiy differensial tenglamalar” kursini o’qib, o’rganish va o’qitishda hamda talabalarning misollar ishlashi va uning tub mohiyatini tushinib yetishlari uchun qulay, yangicha usullardan foydalanib tushuntirish va ishlash talab etilmoqda. Bundan ko’rinib turibdiki, Oddiy differensial tenglamalar kursida Chegarada buziladigan ikkinchi tartibli tenglamalar uchun chegaraviy masalalar mavzusini o’rganishda imkon boricha uning qulay, hisoblashga oson bo’ladigan, usullarini o’rganib chiqish talab etilmoqda. Bundan ko’zlangan Chegarada buziladigan ikkinchi tartibli tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni hisoblash uchun fan tarixida bajarilgan ishlar bilan chuqur tanishib chiqish va ulardan hisoblash oson va aniq bo’ladigan usullarini tanlab olib hisoblashda ularni qo’llashdan iborat.
Oddiy differensial tenglamalar matematikaning fundamental bo’limlaridan bo’lib, uning poydevori hisoblanadi. Ma’lumki, oddiy differensial tenglamalar kursi davomida ko’pgina tushuncha va tasdiqlar, shuningdek, ularning tasdiqlari keltiriladi.
Kurs ishining birinchi bob birinchi paragrafida Chegaraviy masalalar haqida umumiy tushuncha yoritib berilgan. Ikkinchi paragrafda Ikki nuqtali chegaraviy masala ko’rsatib o’tilgan. Uchinchi paragrafda Ikki nuqali chegaraviy masalaning yechimi mavzulari tushuntirib berilgan. Ikkinchi bob birinchi paragrafda Yuqori tartibli differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar mavzusi ko’rsatib berilgan. Ikkinchi paragrafda Chegarada buziladigan ikkinchi tartibli differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar ishlab yo’nalishlar berilgan.
Kurs ishida o’rganilgan natijalar nazariy va amaliy ahamiyatga ega bo’lib, ulardan Oddiy differensial tenglamalarga qo’yilgan masalalarni yechishda fоydalanish mumkin.
Do'stlaringiz bilan baham: |
