Iii. Задача об определении изменения температуры во времени в изолированных точках стержня

§ 2. Условия идентифицируемости проекции.
Будем искать величину (1.4) в виде
(3.2.1)
где и искомые функции из . Следуя известной технике теории наблюдаемости в линейных задачах [ , ], выбираем линейный функционал (1) так, чтобы при связах (1.1)-(1.3) выполнялось тождество
(3.2.2)
На решениях уравнения (1.1) рассмотрим тождество

Здесь произвольная функция, имеющая непрерывные производные , всюду внутри прямоугольника П, кроме разве лишь отрезков Предлагается, что система (1.1)-(1.2) имеет решения с непрерывными Последнее тождество сложим с уравнением (2) и пользуясь интегрированием по частям на промежутках (с учетом (1.2) и (1.3)) получим





(3.2.3)
Потребуем здесь равенства нулю коэффициентов при неизвестных значениях функции и её производных
(3.2.4)
(3.2.5)
(3.2.6)
(3.2.7)
(3.2.8)
(3.2.9)
(3.2.10)
Итак, для функции получена краевая задача (4)-(10). Пусть это система имеет решения при некоторых функциях . Тогда в тождестве (3) остается

Отсюда заключаем: для того чтобы выполнялось соотношение (2) при связах (1.1)-(1.3) и любом уравнении достаточно
(3.2.11)
Итак, установлена
Теорема: Для того имела место тождество (2) при связах (1.1)-(1.3), достаточно, чтобы существовало решение краевой задачи (4)-(11).
§ 3. Метод последовательных приближений.
Пусть известно, что решение системы (1.1)-(1.3) принадлежит множеству – линейное множество в .Пусть, управление – известная функция.
Возьмем некоторую функцию приближенно удовлетворяющую условиям граничной задачи (2.4), (2.6)-(2.10), возможны не нулевые невязки:








При любых функциях формула (2.1) имеет, согласно (2.3) погрешность



(3.3.2)
и оценку погрешности
(3.3.3)
Таким образом, для повышения точности формулы (2.1) необходимо минимизировать величину (2) за счет выбора функций :
(3.3.4)
Практический способ минимизации этой оценки можно выбрать в зависимости от множеств L и M. Пусть
M= (3.3.5)
где



Здесь принято, что для функции из множества М указанные в ограничении интегралы существуют. Тогда по неравенству Коши-Буняковского, оценка (3.3.3) получает представление


(3.3.6)
Будем представлять функции и в виде
(3.3.7)
где заданные системы базисных функции.
Для выбора решим систему (2.4), (2.6), (2.7), (2.10) методом Фурье и тем самым удовлетворим части условий (2.4)- (2.10). Для этого сначала решим уравнение (2.4) в прямоугольниках
(3.3.8)
На линии х=0 используем условие (2.6). тогда На линии х=1 используем условие (2.7). Тогда на решение (8) налагается условие
(3.3.9)
Решение в прямоугольниках и согласуем на линии , по условию непрерывности (2.10):
(3.3.10)
Теперь решение (8) на прямоугольниках и согласуем на линии по условию (2.10)
(3.3.12)
Таким образом, уравнение (2.4)имеет решение
(3.3.12)
С условием на в виде связей
(3.3.13)


На этих решениях составим функции и по условиям (2.8) и (2.9):

(3.3.14)
Построим набор констант

Как решений системы (13) и условиям не вырожденности в невязке

Соответствующие им функции (12), (14), обозначим

Используем эти функции в сумме (7)
Таким образом, выбором функции (12) мы удовлетворили равенствам (2.4), (2.6)-(2.8), (2.10). Тогда в (6) при подстановке (7), (12) обнулятся все невязки кроме напишем погрешность равенства (2.2) с этими невязками:
(3.3.16)
Минимизируем эту погрешность. Необходимые условия экстремума дают







Здесь
(3.3.17)
И так получим систему линейных алгебраических уравнений относительно и . Она решается конечными алгебраическими методами или итеративными методами типа изложенного а §2 гл.2.
Для расширения возможности минимизации оценки погрешности (6) заменим представление функции (7) разложения по системе функции
(3.3.18)
где
(3.3.19) (3.3.20) (3.3.12)
Здесь частоты выбраны так, чтобы функции удовлетворили условиям (2,6), (2,7), (2,10):


(3.3.22)
Подставляя муссу (3.3.18) в условия (2.8) и (2.9), найдём, что они будут выполнены при
(3.3.23)
(3.3.24)
где
(3.3.25)


(3.3.26)
По построению ясно, что подстановка функции (18), (23) в оценку (6) оставит в ней лишь интегралы от невязок в условиях (2.5) и (2.9) ( -произвольная функция) и приведет оценку (6) к виду (16):

(3.3.27)
где в соответсвии с определениями невязок (3.3.1) для функции (18),(24) будет
(3.3.26)
Необходимые и достаточные условия минимума по ( ) функции (27) можно выписать с учетом ортогональности на [0,1] систем функции (18)-(20) и (см. (2.3))





(3.3.29)
Здесь принято обозначение . Указанные здесь интегралы вычисляются по указанным в (22) частотам . Численное решение системы (29) допускает интегрирование по группам переменных , по аналогично изложенному в гл.2 методу (2.3.41) решения системы (2.3.32). В заключение подчеркнём, что формула (24) определяет множество асимптотически (при ) наблюдаемых проекций (2,1) при выборе по формуле (23), а (см. (3.2.11)) с функциями из (18).
Рассмотренный в данном параграфе метод легко модифицировать для задачи наблюдаемости компоненты градиента функции Q как решения граничной задачи (1)-(3). Рассмотрим гипотетическое представление такой компоненты
(3.3.30)
Повторяя преобразования (2) для данных представление, найдем что оно будет иметь место, если функции и связаны соотношения, определяющими граничные задачи для сопряженной переменной от задачи (2.4)-(2.10) только условиями (2.9) и (2.10):
(3.3.31)
, (3.3.32)
(3.3.33)
(3.3.34)
(3.3.35)
(3.3.36)
(3.3.37)
(3.3.38)

При наличии ненулевых невязок в условиях (31)-(37) формула (30) будет иметь погрешность (2), в которой функции , определятся указанными невязками системы (31)-(38). Для обнуления невязок (31), (33)-(37) выберем систему функции вида

(3.3.39)

Здесь взяты частоты



По функциям (39) составим обобщенный полином
(3.3.40)
где
Сумма (9) удовлетворяет условиям (31), (34)-(37), если принять

(3.3.41)
Таким образом, для пары функций ( ) невязка (6) примет вид

(3.3.42)
где

(3.3.43)

Далее дифференцирование функции (42) по параметрам придем к системе необходимых условий минимуму оценки погрешности, которые определяют эти параметры .
Из приведенных построений следует, что компонента может быть вычислена сколь угодно точно по формуле (30), если при достаточно большом , если функции сколь угодно точно приближается в полиномами , указанными в (43).

ЛИТЕРАТУРА

1. 
   Авдонин С.А., Иванов С.А. Серийные базисы из экспонент и задача об успокоении системы струн.//ДАН, 1984.Е.257, №2. –С. 335-358.
   
2. 
   Авдонин С.А., Иванов С.А. Управляемость систем с распределённым параметрами и семейства экспонент. Киев, УМК ВО, 1989.-244с
   
3. 
   Алифонов О.М. Обратные задачи теплообмена. М. : Машиностроение, 1988. -280с.
   
4. 
   Алифонов О.М. Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988-588с.
   
5. 
   Ахиезер Н.И, Крейн М.Г О некоторых вопросах теории моментов. Харьков: ГОНТИ, 1938.
   
6. 
   Бейно Н.В., Бублик Б.Н., Зинько П.Н. Методы и алгоритмы решения задач оптимизации. Киев. –Выща школа, 1985
   
7. 
   Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М., 1965. с.474
   
8. 
   Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М: Наука, 1975. -568 с
   
9. 
   Бутковский А.Г. Малый М.А., Андреев Ю.Н. Оптимальное управление нагревом металла. Изд-во «Металлургия». М. 1972
   
10. 
    
    

-