Ii qism. Kinematika 1 -§. Kinematikaning asosiy tushunchalari

5.4 -§. Harakat qonuni tabiiy usulda berilganda nuqta tezligi.

Nuqta berilgan trayektoriya bo’ylab qonuniga muvofiq harakatlanayotgan bo’lsin. Nuqta vaqtda vaziyatda va momentda esa vaziyatda (2-rasm) bo’lsin.

bo’ladi.
Trayektoriyasi ma’lum bo’lgandagi nuqtaning istalgan momentdagi tezlik vektori urinma bo’ylab yo’naladi. Shuning uchun bizga tezlikning modulini topishgina qoladi. Ma’lumki, tezlik





'
2-rasm
Rasm almashtirish kiritamiz

bo’lgani uchun tezlik moduli
(6)
bo’ladi.
bo’lsa, o’sib boradi.
bo’lsa harakat teskari sodir bo’ladi, keyingi holda tezlik moduli uchun ning
absolyut qiymati olinadi, ya’ni . Agar bo’lsa, harakat tekis bo’ladi ya’ni , agar da bo’lsa, bo’ladi.
Misollar:
1. Tezlikning moduli doimiy bo’lsa, godograf radiusi sfera ustidagi egri chiziqlardan iborat bo’ladi.
2. Moddiy nuqtaning o’zgarmas tezlik vektori doimo biror tekislikka parallel bo’lsa, godograf aylana bo’ladi.


5.5 -§. Nuqtaning tezlanishi.

1. Harakat qonuni vektor usulda berilganda nuqta tezlanishi

Nuqtaning tezlanishi vektor kattalik bo’lib, berilgan daqiqadagi nuqta tezlik vektorining vaqtga qarab o’zgarishini xarakterlaydi. Trayektoriya bir tekislikda yotsin (3-rasm).
Harakatlanayotgan nuqta trayektoriyada daqiqada holatda, tezligi bo’lsin, bu nuqta kichik vaqt oralig’ida, ya’ni daqiqada holatni olsin va tezligi ' bo’lsin, ' vektorni nuqtaga parallel ko’chiramiz, uning uchini ' vektorning uchi bilan tutashtiramiz va chizilgan uchburchakning parallelogrammga to’ldiramiz. U holda bo’lgani uchun vektor vaqtda tezlik o’zgarishini ifodalaydi. Endi vaqtga mos keluvchi vektorni ga nisbatiga teng bo’lgan vektorni yasaymiz. Ya’ni bu vektor nuqtaning vaqtdagi o’rtacha tezlanishi deyiladi.

3-rasm
Uning nolga intilgandagi daqiqada nuqtaning haqiqiy tezlanishi vektorini ifodalaydi.
(7)
Bu vektorni chizmada vektor bilan ifodalaymiz. trayektoriya tekisligida yotadi.
nuqta bir tekislikda yotmaydigan egri chiziqli trayektoriya bo’ylab harakatlansin (4-rasm).
Egri chiziqda bir-biriga yaqin ikkita va nuqtalarni olib, hap biri orqali nuqtaning harakati yo’nalishida va urinmalarini o’tkazamiz. Egri chiziq bir tekislikda yotmagani uchun ikki va urinmalar orqali bitta tekislik o’tkazib bo’lmaydi.
M nuqtadan ga parallel chiziqni o’tkazamiz yotgan tekislikni bilan belgilaymiz. nuqta ga intilnganda tekislikning atrofida aylanib, holati o’zgarib boradi. nuqta ga intilganda ning egallagan limiti holatini bilan belgilaymiz.
tekislikda bilan egri chiziqning juda kichik elementi ham joylashadi. Shunday tekislik egri chiziqning egrilik yoki yopishma tekisligini ifodalaydi. Agar egri chiziq bir tekislikda yotsa, shu tekislik egrilik tekisligi bo’ladi. Egri chiziqning (trayektoriyaning) qaralayotgan nuqtasidan o’tgan urinma va shu nuqtaga juda yaqin bo’lgan nuqtalar orqali o’tgan tekislik yopishma tekislik deyiladi. Tezlanish vektorining yopishma tekislikda yotishi uning ta’rifidan ko’rinib turibdi. tezlik orttirmasi trayektoriyaning botiq tomoniga qarab yo’nalgani uchun, tezlanish vektori ham shu tomonga qarab yo’naladi.

4-rasm
Harakat qonuni koordinata usulda berilgandagi
nuqta tezlanishi
Tezlanish vektorining koordinata o’qlaridagi proyeksiyalari bo’lsin. tezlanishni proyeksiyalari orqali ifodalaymiz.
(8)
(4) va (8) formulalarni (7) ga qo’yamiz.

Yuqoridagi ifoda ayniyat bo’lgani uchun birlik vektorning oldidagi koeffitsientlar tegishlicha bir-biriga teng bo’lishi kerak:
, , (10)
Bu formulalarga ning qiymatlarini (5) keltirib qo’ysak, tezlanish proyeksiyalarini koordinatalar orqali ifodalagan bo’lamiz.
(11)
Demak, tezlanish vektorining koordinata o’qidagi proyeksiyalari, tezlik vektorining tegishlicha koordinata o’qidagi proyeksiyasining vaqtga nisbatan birinchi tartibli hosilasiga yoki harakatlanayotgan nuqta koordinatasining ikkinchi tartibli hosilasiga teng bo’lar ekan. Tezlanishning moduli va uning yo’naltiruvchi kosinuslari quyidagicha yoziladi.


Harakat qonuni tabiiy usulda berilgandagi nuqta tezlanishi
Nuqtaning harakat tenglamasi tabiiy usulda berilgan bo’lsa, , nuqta tezlanish vektorini uning tabiiy koordinata o’qlaridagi proyeksiyalari orqali aniqlash ancha qulay bo’ladi.
Nuqta trayektoriya bo’ylab harakatlansin. Trayektoriya bo’ylab harakatlanuvchi nuqta tezlanishining tabiiy koordinata o’qlaridagi proyeksiyalarini topamiz (5-rasm).

5-rasm
Buning uchun M nuqtadan trayektoriyaning musbat yo’nalishi bo’ylab urinma va trayektoriyani botiq tomoniga qarab bosh normal o’tkazamiz. Bu ikki urinma va bosh normal trayektoriyaning nuqtasidan o’tgan yopishma tekislikda yotadi. Egri chiziqli harakatda nuqta tezlanishi yopishma tekislikda yotishi bizga ma’lum. Endi biz tezlanish vektorining urinma va bosh normaldagi proyeksiyalarini aniqlaymiz. Aytaylik vaqtda nuqta holatda bo’lib, uning tezlik vektori tezlik vaqt o’tgandan keyin holatga ko’chib, tezligi bo’lsin.
Nuqtaning tezlanish vektorini aniqlaymiz.
(12)
(12) ni va tabiiy o’qlarga proyeksiyalaymiz.
(13)
nuqtadan ga parallel ab chiziq o’tkazamiz tezlik vektori bilan orasidagi burchakni bilan belgilaymiz.
; ; ; ga teng.
Bu yerda va nuqtaning va paytdagi tezliklarining miqdorlaridir. Olingan proyeksiyalarni yuqoridagi tengliklarga keltirib qo’yamiz.
(14)
kelib chiqadi. Bunda da , , ga intiladi.
Natijada nuqta ga yaqinlashganda bo’ladi, bu holda

bo’ladi. Demak,
(15)
bo’lib, urinma tezlanishi deyiladi.
Urinmalarning orasidagi burchakni bilan va bilan belgilaymiz nisbatga egri chiziqning (trayektoriyaning) o’rtacha egriligi deyiladi. Buning dagi limiti
(16)
ga egri chiziqning nuqtasidagi egriligi deyiladi. Egrilikning teskari qiymatiga egri chiziq (trayektoriya)ning kuzatilgan nuqtasidagi egrilik radiusi deyiladi va uni

deb belgilaymiz. Endi an ni topamiz. Buning uchun (14) ni o’ng tomoni surat va maxrajini ga ko’paytiramiz
(17)
nolga intilganda qavs ichidagi har bir ko’paytmaning limiti quyidagicha hisoblanadi
; esa ga intiladi.

Shunday qilib, urinma tezlanishining moduli
yoki (18)
(18) formuladan normal tezlanishining moduli
(19)
formuladan topiladi.
Egri chiziqli harakatdagi nuqtaning urinma tezlanishining moduli tezlik modulidan vaqt bo’yicha olingan birinchi tartibli hosilaga yoki nuqtaning yoy koordinatasidan vaqt bo’yicha olingan ikkinchi tartibli hosilaga teng bo’ladi. Hosilaning ishorasi urinma tezlanishining trayektoriyaning qaysi tomoniga yo’nalishini ko’rsatadi. Masalan: agar bo’lsa, nuqtaning tezligi bilan bir yo’nalishda bo’ladi. Bu holda harakat tezlanuvchan egri chiziqli harakat bo’ladi. Agar bo’lsa, nuqta tezligiga teskari yo’naladi. Harakat sekinlanuvchan egri chiziqli harakat bo’ladi.
Normal tezlanishning moduli harakati tekshirilayotgan nuqta tezligi kvadratining, egri chiziqning shu nuqtadagi  egrilik radiusiga nisbatiga teng-

6-rasm
Hamma vaqt musbat miqdor bo’lgani uchun normal tezlanish hamma vaqt kuzatilayotgan nuqtadan trayektoriyaning bosh normali bo’ylab botiq tomoniga yo’naladi. Agar urinmaning birlik vektorini , bosh normalini n bilan belgilasak, urinma va normal tezlanishlarning vektorli ifodasi

ko’rinishda yoziladi. To’la tezlanishning vektor ifodasi

bo’ladi.
Bu ikki bilan o’zaro tik yo’nalganidan to’la tezlanishning moduli quyidagi formuladan topiladi.

Yo’nalishi formuladan topiladi (6-rasm).
Nuqtaning harakat tenglamasi tabiiy usulda berilsa, uning tezlanishi vektori urinma va normal tezlanish vektorlarining geometrik yig’indisiga teng.