Ii. Asosiy qism Giperbolik tipdagi tenglamalar uchun Riman funksiyasi

Giperbolik tipdagi tenglamalar uchun Riman funksiyasi

Qo’shma differensial operator tushunchasi.Grin formulasi.
Chiziqli giperbolik tipdagi tenglama uchun boshlang’ich chegaraviy masalalar yechimlarining integral ifodasini olish uchun kerakli bo’lgan ayrim yordamchi formulalarni keltiramiz.
Faraz qilaylik,
(1)
chiziqli giperbolik tenglamaga mos differensial operator bo’lsin.
Bu yerda a(x,y),b(x,y) va c(x,y) qaralayotgan operatorning koeffitsiyentlari, biror sohada berilgan funksiyalar bo’lib, ular a(x,y), b(x,y) va c(x,y) bo’lsin.
operatorni biror v(x,y) funksiyaga ko’paytiramiz va buning uchun quydagi ayniyat o’rinli:
(2)
Bu yerda
(3)
va

.
(3) formula bilan aniqlangan operator operatorga qo’shma operator deyiladi.
Agar ayirmani biror H va K ifodalarning mos ravishda x va y o’zgaruvchilar bo’yicha xususiy hosilalarining yig’indisi ko’rinishida ifodalash mumkin bo’lsa, u holda ikkita va differensial operatorlar o’zaro qo’shma operatorlar deyiladi.
Agar = bo’lsa u holda o’z-o’ziga qo’shma operator deyiladi.
tekislikda S bo’lakli silliq chiziq bilan bilan chegaralangan soha D bo’lsin. Endi (2) ayniyatni D sohada integrallaymiz va unga matematik analiz kursidan ma’lum bo’lgan Grin formulasini qo’llaymiz.
Natijada
(4)
Ifodaga ega bo’lamiz. Bu formula ham ikki o’lchovli Grin formulasi deyiladi.
Riman usuli.Nemis matematigiR.Riman chiziqli giperbolik tipdagi tenglamalar uchun Koshi va Gursa masalalarining yechimini qurish usulini tavsiya qilgan.
Quyidagi Koshi masalasini qaraylik. Koshi masalasi.Yopiq sohada aniqlangan, uzluksiz va
, (5)
Funksiyalar sinfiga tegishli
(6)
Tenglamaning quyidagi
(7)
Shartlarni qanoatlantiruvchi u(x,y) yechimini toping. Bu yerda a(x,y), b(x,y) – uzluksiz va birinchi tartibli hosilalarga ega, c(x,y) va f(x,y) - uzluksiz funksiyalar, - berilgan funksiyalar, n esa egri chiziqqa o’tkazilgan normal.
Ma’lumki, (6) tenglamaga mos xarakteristik tenglama bo’lib, to’g’ri chiziqlar tenglamaning xarakteristikalari bo’ladi.
Tekislikda biror egri chiziq berilgan bo’lib, (6) tenglamaning xarakteristikalari bu egri chiziqni bittadan ortiq nuqtalarda kesib o’tmasin.

nuqtani belgilab, bu nuqtada , xarakteristikalarni o’tkazamiz. Bu xarakteristikalar berilgan chiziq bilan P va Q nuqtalarda kesishib, MPQ egri chiziqli uchburchak hosil qiladi. MPQ egri chiziqli uchburchak bilan chegaralangan soha bo’lsin.
Faraz qilaylik, (5)-(7) masalaning u(x,y ) yechimi mavjud bo'lsin. U holda yopiq sohada aniqlangan, uzluksiz va
,
shartlarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy v(x,y) funksiya uchun (4) ayniyat o'rinli.
Noma'lum u(x,y) funksiyaning nuqtadagi qiymatini aniqlaymiz. Buning uchun (4) ifodani sohada integrallab, Grin formulasini qo‘llaymiz.
Natijada

hosil bo'ladi.
Bu yerda kontur PQ yoydan hamda QM va M P xarakteristikalardan iborat.
Endi (4) ifodaning o‘ng tomonidagi QM va M P xarakteriskalar bo'yicha olingan integrallarni qaraylik.
QM xarakteristikada, M P xarakteristikada esa bo'lgani uchun (4) tenglik quyidagi ko'rinishga keladi:

(8)
Endi integrallarni alohida-alohida hisoblaymiz.

(9)
(10)
(11)
Topilgan integrallarning (9), (10) va (11) ifodalarini (8) formulaga qo'yib, mos hadlarini soddalashtirsak, quyidagi



. (12)
formulaga ega bo‘lamiz. (12) formulauing o’ng tomonidagi ikki karrali integral va QM va MP xarakteristikalar bo‘yicha integrallarda noma'lum u(x,y) funksiya qatnashyapti. Riman usulining asosiy maqsadi, shu integrallarni nolga aylantiradigan qilib, v funksiyani tanlashdan iborat.

Faraz qilaylik, ikki juft o ‘zgaruvchilarga bog‘liq bo'lgan funksiya quyidagi

1. 
   sohada
   

, (13)
bir jinsli tenglamani va

2. 
   , (14)
   
3. 
   , (15)
   
4. 
   va bo’lganda
   

, (16)
shartlarni qanoatlantirsin.
Endi (13)-(16) shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyaning mavjudligini isbotlaymiz. Buning uchun (14) tenglikda ni bilan almashtirib, hosil bo‘lgan ifodani dan gacha integrallaymiz.
Natijada

hosil bo'ladi. Bundan (16) tenglikka asosan QM xarakteristikada ushbu
, (17)
tenglikni olamiz.
Huddi shunday qilib (15) tenglikdan MP xarakteristikada esa

ifodani olamiz.
Yuqoridagi shartlardan ko'rinadiki, funksiya birinchi juft argumentlari bo‘yicha (13) tenglamaning (17) va (18) shartlarni qanoatlantiruvchi Gursa masalasining yechimidan iborat.
Agar (6) tenglamaning a(x, y), b(x, y) va c(x, y) koeffitsiyentlari sinfga tegishli bo'lsa, u holda (13), (17)-(18) masalaning yagona yechimi mavjud bo’ladi. Bundan esa (13) - (16) shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyaning mavjud va yagonaligi kelib chiqadi.
Chiziqli (6) tenglamaga qo'shma bo’lgan bir jinsli

tenglamaning


shartlarni qanoatlantiruvchi yechimiga Riman funksiyasi deb ataladi va bu funksiya deb belgilanadi.
Endi (12) formulada deb almashtirib,

(19)
ifodani hosil qilamiz. Bu yerda qiymat tenglamaning yechimi, ya'ni

Yuqorida hosil qilingan (19) formula Riman formulasi deyiladi. Bu formula chiziqli giperbolik tipdagi (6) tenglamaning (7) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimining Riman funksiyasi orqali integral ifodasini beradi. Riman formulasini keltirib chiqarilishidan Koshi masalasi yechimining yagona ekanligi kelib chiqishi mumkin. Chunki funksiyaga nisbatan uning mavjudligidan boshqa hech qanday ortiqcha shart talab qilinmadi.