Ii. Asosiy qism. Chegaraviy masalalar to’g’risida zaruruiy malumotlat Sterjenda issiqlik tarqalishi masalasini matematik modellashtirish III. Xulosa III. Foydalanilgan adabiyotlar

1.chegaraviy masalalar to’g’risida zaruriy malumotlar.
n-tartibli tenglamaning xususiy yechimini ajratish uchun odatda Koshi masalasi qaraladi. U boshlangich shartlarni berishdan iborat: birorta
X =Xo nuqtada izlanayotgan funksiya va uning (n— 1)-tar-
tibgacha (u ham kiradi) barcha hosilalarining qiymatlari beriladi.
Shu bilan birga bir qator masalalarda boshka turdagi shartlarga duch kelinadi, masalan, xususiy yechimni izlanayotgan funksiyaning bir kechta nuqtadagi maʼlum qiymatlari buyicha topish talab qilinadi.
Bunday masalalrga chegaraviy masalalar deyiladi.
Dastlab ana shunday masalalarning ayrimlari bilan misollar orqali tanishamiz.
y" +4y = X tenglamaning y(0) = 1, y ( ) = shartlarni
qanoatantiruvchi xususiy yechimini toping.
Natijalarga ko’ra bu tenglamaning umumiy yechimi

y = x + cos 2x + sin 2x

ko’rinishda boʻladi. Bu yerga x = 0 va x = qiymatlarni qo’yib
va ixtiyoriy o’zgarmaslarni topish uchun ikkita
= 1
* + cos + sin =

Tenglamaga ega bo’lamiz bu yerdan = 1 va = kelib chiqadi.

Demak izlanayotgan xususiy yechim

y = x +cos 2x + sin 2x

buladi.
Chegaraviy masalalarning bunday elementar shaklda
Berilishi shart emas . Bazi hollarda shartlar sifatida funksiya va uning birinchi hosilasining ikki (ikkinchi tartibli tenglama uchun) yoki bir nechta nuqtalardagi chiziqli kombinatsiyalari beriladi.

- 2x + 2y = tenglamaning y(0)+2 =1 va
y(1) - (1)=0 shartlarni qanoatlantiradigan xususiy yechimini topamiz.
Berilgan differensial tenglama Eyler tenglamasi bo’lib qoidalar bo’yicha yechiladi. Ularni qo’llanib, mos bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi
y = x +
bo’lishini topamiz.
Bir jinsli bo’lmagan tenglamaning y= xususiy yechimini esa
Aniqmas koeffitsiyentlar usuli bo’yicha ham, o’zgarmaslarni variatsiya-
lash usuli buyicha ham topish mumkin. Kerakli hisob-kitoblarni mus-
teqil bajarishni kitobxonning uziga havola qilamiz.
Shunday qilib, tenglamaning umumiy yechimi:

y = x + +

Endi y = + + hosilani topish hamda y va y' lar-
ning berilgan nuqtadagi qiymatlarini chegaraviy shartlarga qo’yish
koldi. Quyidagini hosil qilamiz:

( + * 0 + ) + 2( + * 0 + )=1

( + * 1 + ) + 2( + * 1 + )=0

bu yerdan darhol va = — 1 ni topamiz, binobarin, berilgan chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechim

y = x - +

ko’rinishda bo’ladi.

Endi y" — 2y' +2y = 2 tenglamaning y(0) + y( ) =e
y' (0) + y' ( ) = 1 shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini
topamiz.
Bunda tenglamaning umumiy yechimi;

Y= cos x + sin x .

Shuning uchun birinchi chegaraviy shart quyidagini beradi;

+ ( 1 + ) =

Umumiy yechimni differensiallab,
y' =

ni topamiz, bundan

Ixtiyoriy o’zgarmaslarni topish uchun oxirida
,
( 1 - ) + ( 1 + ) = -

Sistemani hosil qilamiz, uni yechib quyidagilarni hosil qilamiz;

:
:

Shunday qilib, berilgan chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi xu-

susiy yechim
Y= cosx + )

Ko’rinishda buladi.

Aslini olganda, chegaraviy shartlar ancha murakkab qilib xam berilishi mumkin.
Biroq ikkinchi tartibli chiziqli tenglamalar uchun odatda ikki nuqtali chiziqli chegaraviy masala qo’yiladi, u yuqorida kurilgan ikki
shakldan birida bo’lishi mumkin:

(1)
Yoki
(2)

Yuqorida kurilgan misollarning birinchisidagi shartlar (1) ning = = 0 bo’lgandagi xususiy holidir.

Taxlil qilib chiqilgan misollarda eng sodda holga duch keldik, yaʼni bunda tenglamaning umumiy yechimi maʼlum bo’lib, berilgan chegaraviy masalalarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimni topish uchun ixtiyoriy o’zgarmaslarning qiymatlarini topish yetarli edi, shu bilan birga bu o’zgarmaslarni topish uchun tuzilgan tenglamalar birgalikda va aniq edi.
Ancha murakkab hollar, masalan, parametrlarning tenglamaning
noldan farqli bo’lib, lekin nol chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan yechimi mavjud bo’ladigan qiymatlarini izlashni talab etadigan kabi hollar jiddiy qiyinchiliklar bilan bogliq.
Bunday masalalar matematik fizika tenglamalarini yechishda paydo buladi, biroq bizning kursda ular qaralmaydi.
Shuni ham nazarda tutish kerakki, chegaraviy masala yechimining mavjudlik va yagonalik shartlari Koshi masalasi yechimining mavjudlik shartlaridan katta farq qiladi.
Shunday hol ro’y berishi mumkinki, hatto yechimning qiymatini argumentlarning ikkita qiymati uchun berishdan iborat bo’lgan eng sodda chegaraviy shartlar mumkin bo’lmay qolishi mumkin. Shunday bo’lishiga qaramasdan, chegaraviy masala yechimining mavjudlik va yagonalik masalalariga to’xtalib o’tirmaymiz.