Идз моои часть-1 doc

ИДЗ-4. Классическое определение вероятности
Решите задачу на вычисление вероятности, основываясь на ее классическом определении.
Из множества всех последовательностей длины 10, состоящих из цифр 0; 1; 2; 3, наудачу выбирается одна. Какова вероятность того, что выбранная последовательность содержит ровно 5 нулей, причем два из них находятся на концах последовательности.
Решение: Вероятность события A – «Выбранная последовательность содержит ровно 5 нулей, причем два из них находятся на концах последовательности», согласно классическому определению, равна
P(A) = ,
где n – полное число равновероятных исходов; m – число исходов, благоприятствующих событию A.
Число способов заполнить 10 позиций в последовательности цифрами 0; 1; 2; 3 составляет, с учетом возможности повторения цифр,
n = 4¹⁰ = 2²⁰ = 1048576.
Число способов разместить 5 нулей на 10 позициях в последовательности при условии, что нули обязательно находятся на первом и десятом месте в последовательности, равно числу способов разместить три нуля на восьми свободных позициях в последовательности и равно числу сочетаний из 8 элементов по 3: = = 56. Оставшиеся 8 – 3 = 5 позиций в последовательности будут заполнены цифрами 1; 2; 3. Число способов осуществить это, с учетом возможности повторения, равно 3⁵ = 243. Т.о., число исходов, благоприятствующих событию A, равно
m = 3⁵ = 56243 = 13608.
Искомая вероятность события A равна:
P(A) = = 0,013.
Ответ: P(A) = = 0,013.
Варианты индивидуальных домашних заданий (ИДЗ)
ИДЗ-1. Основные понятия теории множеств
Определить и изобразить на рисунках множества A, B, AB, AB, A/B, B/A, AB:

1. 
   A = {(x, y)  R²: x  y}, B = {(x, y)  R²: |x| + |y|  1};
   
2. 
   A = {(x, y)  R²: y  –x}, B = {(x, y)  R²: x² + y²  1};
   
3. 
   A = {(x, y)  R²: y  x²}, B = {(x, y)  R² : x² + (y – 1)²  1};
   
4. 
   A = {(x, y)  R²: xy  0}, B = {(x ,y)  R²: x² + y²  1};
   
5. 
   A = {(x, y)  R²: y  –x²}, B ={(x, y)  R²: (x + 1)² + (y + 1)²  1};
   
6. 
   A = {(x, y)  R²: xy  0}, B ={(x, y)  R²: |x| + |y|  1};
   
7. 
   A = {(x, y)  R²: x  y}, B = {(x, y)  R²: 9x² + y²  36};
   
8. 
   A = {(x, y)  R²: x  y}, B ={(x, y)  R²: 4x² + 9y²  36};
   
9. 
   A = {(x, y)  R²: max{|x|, |y|}  1}, B = {(x, y)  R²: x² + y²  1};
   
10. 
    A = {(x, y)  R²: max{|x|, |y|}  2}, B= {(x, y)  R²: y  x + 1};
    
11. 
    A = {(x, y)  R²: y  x²}, B = {(x, y)  R²: y  4 – x²};
    
12. 
    A = {(x, y)  R²: x  –y}, B = {(x, y)  R² : |x| + |y|  2};
    
13. 
    A ={(x, y)  R²: |x| + |y|  3}, B = {(x, y)  R²: max{|x|, |y|}  2};
    
14. 
    A = {(x, y)  R²: y  –x²}, B = {(x, y)  R²: (x – 1)² + (y + 1)²  1};
    
15. 
    A = {(x, y)  R²: xy  0}, B = {(x, y)  R²: x² + (y + 1)²  1};
    
16. 
    A = {(x, y)  R²: xy  0}, B = {(x, y)  R²: x² + y²  4};
    
17. 
    A = {(x, y)  R²: y  x²}, B = {(x, y)  R²: (x – 1)² + (y + 1)²  4};
    
18. 
    A = {(x, y)  R²: x²  y}, B = {(x, y)  R²: x² + y²  4};
    
19. 
    A = {(x, y)  R²: xy  0}, B = {(x, y)  R²: |x| + |y – 2|  1};
    
20. 
    A = {(x, y)  R²: x  –y}, B = {(x, y)  R²: (x – 2)² + (y + 3)²  1};
    
21. 
    A = {(x, y)  R²: x  y}, B = {(x, y)  R² : 9x² + y²  9};
    
22. 
    A = {(x, y)  R²: x  y}, B = {(x, y)  R²: x² + 4y²  4};
    
23. 
    A = {(x, y)  R²: |x| + |y|  2}, B = {(x, y)  R²: 9x² + y²  9};
    
24. 
    A = {(x, y)  R²: max{|x|, |y|}  2}, B = {(x, y)  R²: x² + 1  y};
    
25. 
    A = {(x, y)  R²: max{|x|, |y|}  2}, B = {(x, y)  R²: 4 – x²  y};
    
26. 
    A = {(x, y)  R²: xy  1}, B = {(x, y)  R² : x² + y²  9};
    
27. 
    A = {(x, y)  R²: x² + y²  4}, B = {(x, y)  R²: (x + 1)² + (y + 1)²  4};
    
28. 
    A = {(x, y)  R²: |x| + |y|  4}, B = {(x, y)  R²: x² + y²  16};
    
29. 
    A = {(x, y)  R²: y  (x – 2)²}, B = {(x, y)  R²: x² + y²  4};
    
30. 
    A = {(x, y)  R²: x + y  3}, B = {(x, y)  R²: (x – 1)² + (y – 1)²  9}.
    

ИДЗ-2. Законы алгебры множеств
Пусть A, B, C – подмножества некоторого универсального множества U. Установите справедливость нижеследующих утверждений.
1. (U\B)\(U\A)  A\B; 2. (U\A)\B = U\(AB);
3. A\C  (A\B)(B\C); 4. (AB)C = (AC)(BC);
5. Если A  B, то U\B  U\A; 6. AB = U\((U\A)(U\B));
7. AB = A(AB); 8. A\B = A(AB);
9. Если AB = A, то B = ; 10. (AB)C  (AC)(BC);
11. (AB)(BC) = (ABC)\(ABC); 12. AB = (U\A)(U\B);
13. A(AB) = B; 14. (A\C)\(B\A)  A\C;
15. (A\C)\(B\A)  (A\B)(B\C); 16. (A\C)  (A\B)(B\C);
17. Если U\B  U\A, то A  B; 18. A(BC) = (AB)(AC);
19. AB  (AС)( BC); 20. A\(B\C) = (A\B)(AC);
21. (A\B)\C = (A\C)\(B\C); 22. (AB)\C = (A\C)(B\C);
23. Если C  A, то A\(B\C) = (A\B)C; 24. (AB)\C = (A\C)(B\C);
25. (A\B)C = (AC)\B; 26. (A\B)C  (AC)\B;
27. (AB)\C = (A\C)(B\C); 28. (A\B)\(A\C) = (AC)\(AB);
29. (AB)\C = (A\(BC))(B\(AC)); 30. (A\B)C = (AC)\(BC).
ИДЗ-3. Элементы комбинаторики
а) Вычислите значение X комбинаторного выражения;
б) Решите комбинаторную задачу;
в) Решите комбинаторную задачу повышенного уровня сложности.
1. а) X = – ;
б) На конференции должны выступить 7 докладчиков. Сколькими способами можно составить списки выступлений ораторов?
в) Сколькими способами можно выбрать из колоды в 36 карт пять карт так, чтобы среди них было не менее трех шестерок?


2. а) X = – ;
б) Сколько пятизначных телефонных номеров, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8?
в) Имеются 5 путевок в Турцию и 7 – в Грецию. Сколькими способами можно отправить 9 туристов на отдых в Турцию или Грецию?


3. а) X = – ;
б) На книжной полке стоят 12 книг различных авторов. Сколькими способами можно взять с полки 7 книг?
в) Сколько различных трехбуквенных слов, в которых буквы не повторяются и есть только одна гласная буква, можно составить из букв а, б, в, г, е, ж?


4. а) X = – ;
б) Сколькими способами можно опустить 4 различных письма в 10 почтовых ящиков, если в каждый ящик опускают не более одного письма?
в) Сколькими способами можно переставить буквы в слове «высота» так, чтобы все согласные стояли рядом?


5. а) X = + 2 ;
б) Сколькими способами могут быть распределены 5 контрамарок (билетов без указания места) на спектакль среди 12 учеников класса?
в) Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, чтобы каждое из этих чисел начиналось и заканчивалось четной цифрой?


6. а) X = + 2P₅;
б) Сколькими способами можно расположить на книжной полке 7 различных книг?
в) Сколькими способами можно выбрать из колоды в 36 карт четыре карты так, чтобы ровно три из них были одной масти?


7. а) X = + ;
б) У студента имеется 7 различных учебников. Сколькими способами можно выбрать 3 учебника?
в) Сколькими способами можно расставить на книжной полке 8 томов собрания сочинений так, чтобы первый, второй и третий тома стояли рядом?


8. а) X = 5 – ;
б) Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6?
в) Сколькими способами можно выбрать из колоды в 36 карт пять карт так, чтобы среди них точно была одна шестерка и одна семерка, причем одной масти?


9. а) X = – ;
б) Сколькими способами можно усадить на скамейку 6 человек?
в) В спортивной секции занимаются 10 человек. Сколькими способами можно выбрать из них 5 человек, среди которых трое – участники эстафеты 100 + 400 + 500 и двое – запасных?


10. а) X = + ;
б) Сколькими способами можно выбрать из колоды в 36 карт две карты: одну масти «крести», другую – масти «черви»?
в) На школьной конференции от класса в 20 чел. должны участвовать 5 представителей; среди них – 2 докладчика: по математике и по истории. Сколькими способами можно составить команду участников?