Ibragimova Gulrux Ixtiyorovna darajali qatorlar yordamida differengial tenglamalarga qoeilgan masalalarni echish

2.2.2-ta’rif Agar funksiya topilib bu funksiya uchun tenglik o’rinli bo’lsa, son Shturm-Liuvill operatorining xos qiymatlari va shu qiymatga mos xos funksiya deyiladi.

2.2.1-misol differensial ifoda yordamida kesmada hosil bo’lgan va , chegaraviy masalaga ega bo’lgan Shturm-Liuvill operatorini xos qiymatlari va xos funksiyalarini topamiz.

tenglamani yechamiz . bu tenglamani xarakteristik tenglamasi bo’ladi bundan bo’lib tenglamaning umumiy yechim ko’rinishda bo’ladi.

Chegaraviy shartlardan

Bu sistema nolmas yechimga ega bo’lishi uchun bo’lishi zarur, bunda natijada operatorning xos qiymatlari

va xos funksiyalari bo’ladi.

Quyidagi Shturm-Liuvill masalasini qaraymiz

Masalani da yuqorida ko’rilgan misolni hosil qilamiz

Xos funksiyalarning asosiy xossalaridan biri u bu funksiyalarning ortogonalligidir ya’ni bo’lsa

(2.2.2)

Bu xossani isbotlash uchun

Tengliklardan foydalanamiz . Bulardan

0 dan gacha integrallaymiz

Yoki

Chegaraviy shartlarga ko’ra birinchi qo’shiluvchi nolga teng. Demak lar uchun (2.2.2) shart bajariladi .

Bundan agar bo’lsa, xos qiymatlarni haqiqiy son bo’lishi kelib chiqadi. Haqiqatdan ham agar va lar qo’shma kompleks sonlar xos qiymatlar va , shu qiymatlarga mos xos funksiyalar bo’lsa (2.2.2) dan

Kelib chiqadi, bu tenglik o’rinli emas chunki , lar chiziqli bog’langan.

Xos qiymatlarni haqiqiyligidan ba’zi transcendent faqat haqiqiy ildizga ega bo’lishligi kelib chiqadi

deb olamiz u holda tenglama umumiy yechimi

Shaklda bo’ladi. va da

ni hosil qilamiz bu sistemaning asosiy determinantidan,

yoki xarakteristik tenglamani hosil qilamiz. Bundan ga nisbatan hosil bo’lgan

Transsendent tenglama faqat haqiquy yechimga ega ekanligi kelib chiqadi.

(2.2.3)

tenglama berilgan bo’lib p(x) va q(x) koeffisiyentlar x ning butun musbat darajalari bo’yicha qatorga yoyish mumkin.

Bu holda (2.2.3) tenglama yechimini ko’rinishda izlaymiz. Bu yechimni (2.2.3) tenglamaga qo’yamiz

Soddalashtirishdan so’ng ko’phad koeffisiyentlarini nolga tenglashtiramiz.

(2.2.4)

c₀, c₁, c₂ , … larga nisbatan chiziqli tenglamalar sistemasi bo’lib, har bir tenglamada undan oldingi tenglamadan bitta ko’p noma’lum c qatnashgan. c₀ va c₁ koeffisiyentlar ixtiyoriy bo’lib, c₂, c₃ … ular orqali ifodalanadi.

Amaliyotda quyidagi usuldan foydalanish afzalroq.

Yuqorida ko’rsatilgan usul yordamida (2.2.3) tenglamaning 2 ta yechimini topamiz. Bunda uchun

uchun olinadi, ya’ni y₁(x) uchun boshlang’ich shart ,

uchun esa

Agar (2.2.3) tenglama uchun , shartni qanoatlantiruvchi yechim topish talab qilingan bo’lsa, u holda bu yechim

y = Ay₁(x) + By₂(x) ko’rinishda bo’ladi.

2.2.2-misol. tenglama yechimini darajali qator shaklida toping.

Tenglamani yechimini qator ko’rinishda izlaymiz. Bu funksiyani berilgan tenglamaga qo’yamiz.

.

, deb olamiz va oxirgi tenglamadan x ning barcha darajalari koeffisiyentlarini nolga tenglashtiramiz

Bu tenglamalarni yechib c₄ = , c₅ = 0, c₆ = , … larni olamiz.

Demak,

Shu tartibda va _, boshlang’ich shartlarni olib, berilgan tenglamadan ni hosil qilamiz. Bu tenglamadan (a₀ = 0, a₁ = 1)

Bundan a₂ = 0, a₃ = , a₄ =0, a₅ = , a₆ = 0 , a₇ = , …

Demak, a_2k = 0, a_2k+1 = , k = 1, 2, 3, …

va

Berilgan tenglama umumiy yechimi:

bo’ladi.

2.2.3-misol. tenglamaning , shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini Teylor qatori yoyilmasining dastlabki to’rtta hadini toping.

Ma’lumki funksiya (0, 0) nuqta atrofida < x < ,

< y < sohada yaqinlashuvchi darajali qatorga yoyiladi, ya’ni golomorfdir.

Tenglamaning yechimini

y(x) = y(0) + shaklda izlaymiz.

Tenglamani differensiallab va uni x = 0 dagi qiymatini hisoblaymiz.

^yexy

topilgan qiymatlarni yechim ko’rinishiga qo’yib, berilgan masala yechimini topamiz.