I2-ma’ruza mashg’uloti mavzu: kristall panjarasi

I2-MA’RUZA MASHG’ULOTI
MAVZU: KRISTALL PANJARASIDAGI TEBRANISHLARNING KVANTLANISHI
Reja
1. Akustik va optik tebranishlar.
2. Tebranishlar energiyasi. Fononlar
Tayanch so’z va iboralar: Pauli tenglamasi, magnit maydon, spektral chiziqlar, magnit momenti, mexanik moment, harakat miqdori.
Atomdagi elektronning holatini to’liq ifodalash uchun to’rtta dinamik kattaliklarni kiritish yetarlidir, ya’ni elektronning og’irlik markazi harakatini aniqlovchi uchta kattalik bilan birgalikda elektron spinini hisobga oluvchi yana bitta S_z kattalikni kiritish zarur. Shu tufayli elektronni to’rtta erkinlik darajasiga ega ekanligi to‘g’risida gapirish mumkin. Elektronning holatini aniqlovchi to‘lqin funksiyasi ham to‘rtta o‘zgaravchiga bog’liq bo‘lgan to’lqin funksiyasi sifatida qarash kerak bo‘ladi, bulardan uchtasi elektron og’irlik markazining harakatiga tegishli bo‘lsa, to’rtinchisi S_z bilan bog’langandir. Shuning uchun, koordinata tasavvurida elektronlar holatini ifoda qilish uchun to‘lqin funksiyasini
(1)
ko‘rinishda yozish kerak. (10) dan ma’lum bo’ldiki, S_z faqat ikkita qiymatni qabul qila olar ekan, shuning uchun (1) dagi bitta to’lqin funksiyani ikkita to‘lqin funksiyasiga ajratib yoziladi:
(2)
(3)
Bu ikkita funksiyani bitta ustunga ega bo‘lgan matritsa ko‘rinishdagi umumiy to‘lqin funksiyasi orqali ifodalash mumkin:
(4)
Ushbu (4) to‘lqin funksiyasi uchun qo‘shma funksiya ni bitta qatorga ega bo‘lgan matritsa korinishida yozish mumkin:
(5)
Kiritilgan va funksiyalarni faqatgina shu holatda bir-biridan ajratish mumkinki, agar elektronning og’irlik markazi harakati va elektronning spini orasidagi bog’lanish mavjud bo‘lsa. Ayni vaqtda bunday bog’lanish atom spektirini eksperimental o‘rganish natijasida spektr chiziqlarining dublet xarakterga ega ekanligida namoyon bo‘ladi, ya’ni atom elektronining spin va orbital harakat miqdori momentlari o‘rtasidagi magnit o‘zaro ta’sir asosida tushuntiriladi. Masalan, vodorod atomidagi bitta elektron protondan iborat bo‘lgan yadroning Kulon maydonida harakatlanayotgan bo’lsa, spin-orbital o’zaro ta’sirning mavjudligini ko‘rsatish mumkin. Agarda, atom spektrining murakkab tarkibi hisobga olinmasa, u holda spin-orbital o’zaro ta ’siri ham hisobga olmasak bo’ladi. Shuning uchun, bu yaqinlashishda (2) va (3) orqali ifodalangan to’lqin funksiyalarni
(6)
ko’rinishda yozish mumkin. Ammo, bu holatda ham elektronni spinga ega bo’lgan zarracha ekanligi nazarda tutilsa, u holda (1) to‘lqin funksiyani o‘zgaruvchilari ajralgan ikkita funksiya ko‘paytmasi sifatida ko‘rish mumkin;
(7)
Bu yerda orqali spin funksiya belgilangan indeks ikkita qiymatni qabul qiladi. Kiritilgan spin funksiya aslida operatorning xususiy funksiyalari bo’lishadi va
(8)
(9)
Zarracha diskret xususiy qiymat qabul qiluvchi orbital harakat miqdori momenti M ga va spin harakat miqdori momenti S ga ega bo’ladi. Vektor operatorlarni qo‘shish qoidalariga asosan zarrachaning to‘la harakat miqdori momentini J orqali belgilansa, u holda J to‘la moment M orbital va S spin momentining vektor yig’indisiga teng bo‘ladi:
(10)
Orbital moment va spin moment operatorlari turli o‘zgaruvchilarga ta’sir qiladi, ya’ni orbital harakat miqdori momenti fazoviy o‘zgaruvchilarga, spin harakat miqdori momenti esa faqat spin o‘zgaruvchilarga ta’sir qiladi. Shuning uchun. yuqoridagi ikki operatorlar o‘zaro kommutativ bo’ladi. Demak, to‘la mexanik moment operatorining proyeksiyalari orbital moment proyeksiyalari va spin moment proyeksiyalarini qanoatlantiruvchi kommutatsiya qoidalariga ham bo’ysinishi kerak.
(11)
(12)
(13)
Shunga o‘xshash boshqa komponentalar uchun ham xuddi shunday munosabatlarni keltirib chiqarish mumkin. Shunday qilib:


(14)
Наr qanday harakat miqdori momenti singari elektronning to‘la mexanik momenti J ham kvantlanadi va (11) munosabatga asosan operatorning xususiy qiymatlari quyidagi ifoda orqali aniqlangan bo‘ladi:
(15)
Bunda j - to‘la harakat miqdori momentining qiymatini aniqlovchi kvant soni. Kvant mexanikasida qabul qilingan momentlarni qo‘shish qoidasiga binoan berilgan l va s qiymatlarda j soni quyidagi qiymatlami qabul qiladi:
(16)
To‘la harakat miqdori momentining ixtiyoriy bitta yo‘nalishga proyeksiyasi ham kvantlanadi, xususan J_z uchun quyidagi tenglikni yozish mumkin:
(17)
Bu yerda j kvant soni l orbital va s spin kvant sonlari bilan quyidagi formula orqali ifodalanishi mumkin:
(18)
To‘la, orbital va spin momentlari J ,M va S bir vaqtning o‘zida kvantlanganligi sababli , ular o‘zaro faqat biror aniq yo’nalishga ega bo’ladi. Bir elektronli atom holda momentlaming faqat ikkita nisbiy joylashishlari o‘rinli bo‘ladi, ulardan biri J = M + S ga, ikkinchi J = M - S si ga to‘g’ri keladi.
Pauli tenglamasi. Elektronning xususiy magnit momentining mavjudligini hisobga oluvchi norelyativistik to‘lqin tenglamasini keltirib chiqarish uchun elektromagnit maydonda harakatlanuvchi elektron ko’rib chiqiladi. Spin tushunchasini kiritishda ishlatadigan asosiy g’oyaga binoan

ga teng bo’lgan magnit momentga ega bo‘ladi. Ushbu magnit momentning paydo bo’lishi magnit maydonidagi elektron uchun qo‘shimcha potensial energiyaning vujudga kelishiga olib keladi va uning qiymati
(19)
ga teng bo‘ladi. Bunda H - tashqi magnit maydonning kuchlanganligini ifoda qiladi. Qaralayotgan potensial energiya operatorini hisobga olgan holda quyidagi ko‘rinishda ochib chiqiladi:
(20)
Shunday qilib, elektromagnit maydonida harakatlanuvchi spinga ega bo’lgan elektron uchun Gamilton operatori quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
(21)
(21) formulada elektronning zaryadini -e ga teng deb olingan. Hosil qilingan Gamiltonian spinga bog’liq bo’lganligi sababli, elektronning to’lqin funksiyasi ko’rinishga ega bo‘ladi. Bu to’lqin funksiyasi uchun magnit maydonidagi to‘lqin tenglamasi birinchi bo’lib, V.Pauli tomonidan kiritilgan va uning nomi bilan nomlangan. Ushbu tenglamaning ko‘rinishi quyidagicha bo’ladi:
(22)
bunda matritsa ko‘rinishida olingan.
Pauli tenglamasidan foydalangan holda, ehtimollik oqim zichligi vektorini aniqlash mumkin. Shu maqsadda (22) dagi Pauli tenglamasini quyidagi ko’rinishda yoziladi:
(23)
bunda orqali - spin operatorlarai o‘z ichiga olmagan hadlar yig’indisi belgilab olingan.
Ushbu ifodalar shuni ko‘rsatadiki, zarrachaning topilish ehtimoli va tok zichligi spini ma’lum yo‘nalishda bo’lgan elektronlarga tegishli alohida qismlarning yig’indisidan iborat bo’ladi. Ehtimolliklarning normirovka sharti

ko‘rinishga ega bo’ladi.
va ifodalar spinlar mos holda va bo’lgan elektronlarning t vaqt momentida (x. y. z) nuqtada topilish ehtimollik zichliklaridir.
Matritsalar ustida bajariladigan ammallami bilgan holda:

tenglikni hosil qilish mumkin.
Nazorat savollari
1. Pauli tenglamasining ma’nosi.
2. Magnit momenti nima ?
3. To’la mexanik moment nima ?
4. Harakat miqdori nima ?