И здан и е второе, стереотипное

и (х )
имеет производную из /,* (0 , 1). Р а зл о ж и м
е е
в р я д Ф урье по косинусам:
СО
if (х) —
2
a k
COS 
k-KX.
ft — 0
Н а самом д еле н улевого члена в это м р я д е нет, т а к к а к
1
а0 —
J 
if
( х )
d x —
н ( 1) — и ( 0 ) =ь= 0 ,
о
п о это м у
ОО
if ( х ) ~
^
аь
cos 
ккх.
А = 1
П о с л е д н е е р авен ство п рои н тегри руем в п р е д е л а х о т нуля 
д о 
х;
р я д сходится в среднем, и его м о ж н о и н те гр и р о в ать
почленно. П риняв во внимание, что и ( 0 ) = 0, получим
ОО
и ( х ) =
2
bk
sin 
knx,

---

где
П о ст р о и м п о сл ед о в а те л ьн о ст ь ф ункций
П
ип( х ) —
2
b h
 
sin 
k K X .
О чеви дн о, 
un £ D ( A ) .
В си лу сходим ости ряда Ф у р ь е
II и * — и II —
* о.
л -*■ со
Н ад о п о к аза ть, ч т о
\ и п
—
и
т | - > 0. Н е ум аляя о бщ н ости ,
п. т->0
м ож но сч и тать, что 
п ^ > т .
Т огда
п
ип (х )
—
ит
( * ) =
2
bk
sin 
knx.
k = т -
J- 1
Зап и ш ем к в а д р а т эн ер ге ти ч е ск о й нормы разн ости
I /
п
\ 9 
п
|« Д —
2
a * COsA:,CJd x — \
2
Т ем самы м д о к а зан о , что и £
Н
а
-
§ 4. Зад ач а о минимуме квадратичного функционала
П у с т ь
А
— п о л о ж и т е л ь н о оп ред еленны й о п е р а т о р в гиль­
б е р то в о м п р о ст р ан с тв е 
Н,
 
а / — данны й элем ен т э т о г о п ро­
с т р ан с тв а . К в ад рати ч н ы й ф у н кц и о н ал
F(n) = ( M » ) - 2 ( f t / )
(1)
им еет о б л а с т ь о п ред елен и я, очевидно, совпадаю щ ую с о б л а ­
стью о п р ед ел е н и я о п е р а т о р а
А,
та к что 
D(F) = D(A).
Ф унк­
ц и о н ал ( 1) будем н азы вать
функционалом энергии
для о п е­
р а т о р а А
П ост ав и м за д а ч у о минимуме ф ун кц и он ала эн ер ги и на 
м н о ж ес тв е 
D(A).
Д о к а ж е м следую щ ую теорем у.
Т е о р е м а 5.4.1. 
Д л я того чтобы 
некоторый эле­
мент щ
^
D
(Л ) 
сообщал минимальное значение функцио­

---

налу энергии, необходимо и достаточно, чтобы этот
элемент удовлетворял уравнению
Ли0 = / .
(2 )
Такой элемент
—
единственный.
Н е о б х о д и м о с т ь . Если эл ем ен т 
щ
реал и зу ет минимум 
ф у н к ц и о н ал а 
F,
то (g rad
F)
(и0) = 0. Н айдем g r a d F .
И меем , по определению вариации,
bF(u, n) = ~ F ( u -\-
ат]) 1^
=
= ^ [ И
(и
+ «т)>,