И здан и е второе, стереотипное

X 
X
J
u'n(t)dt
- > ^
w ( t ) d t
о 
л -* со а
р ав н о м е р н о на се гм е н те [а, 
Ь].
Д ействительно, по н ер а ве н ств у
Б у н я к о в с к о г о
^ \ u n( t ) d t — \ w ( t ) d t
X
X
 
X
5
\ 4 t
5 
\ип (t)
—
W
(O l
3dt = x \ \ u n(t) — w ( t ) f d t
<
о
о
 
о
i
« s
\ [u;
(
t) — w
(/)]* 
dt
= II 
un
—
w
II8 
0
.

---

П е р е х о д я к п ред елу в соотнош ении ( 8 ), получим
JC
u (x) — ^ w ( t ) d t .
о
О тс ю д а н ( 0 ) = 0. Если бы мы написали ф о р м у л у Н ью тона—
Л ей б н и ц а в виде
1
1
И
п
( * ) = И„(1 
) — \u'n( t ) d t = — \ ип
( 0
dt,
X 
X
т о тем ж е путем мы нашли бы, что и ( 1) — 0 .
2. 
П у сть теперь ф ункция 
и ( х )
у д о в л е т в о р я е т сф орм ули­
рованны м вы ш е требованиям : на сегм енте [0 , 1 ] он а абсо­
л ю тн о непреры вна, имеет почти всю ду п рои зво д н у ю
и?
£ £ * ( 0 , 1)
и, н ак он ец , н ( 0 ) = и ( 1 ) = 0. Д окаж ем , что 
и ^ И А.
Д о с т а то ч н о д ок азать, что су щ еству ет п о сл е д о в а те л ьн о ст ь
{н„} ф ункций из О ( Л ) такая, что
| “ я — « т | - » 0
и 
|| и„ — и || -► 0 .
п,
ГП
-*00
П-+СО
Ф ункция