И робототехнические системы

Номер i-го подвижного звена Параметры

Download 14,9 Mb. bet 29/51 Sana 10.07.2022 Hajmi 14,9 Mb. #773176 Turi Учебное пособие

Номер i-го подвижного звена
Параметры кинематической пары
i	Si	ai	i
0	Вращательная	1	q1	0	0	0
1	Поступательная	2		q2
2	Вращательная	3	q3	0		-

Прямая задача кинематики манипуляторов заключается, как отмечалось, в определении положения его звеньев в неподвижной (инерциальной) системе координат по известным значениям обобщенных координат и при известных значениях кинематических размеров звеньев.

Важным частным видом прямой задачи кинематики манипулятора является определение положения его схвата, закрепленного на последнем n-м звене манипулятора.
Положение схвата в неподвижной системе координат будет определено полностью, если будут известны координаты его центра А_n и ориентация последнего n-го звена в неподвижной системе координат. В нашем случае, когда в центр А_n схвата помещено начало n-й системы координат, для определения положения и ориентации схвата достаточно определить координаты начала n-й системы координат в системе координат, связанной с 0-м звеном.
Запишем формулу (6.2) для n звеньев, как бы «пятясь» от звена n к звену 0.



Подставив в последнее равенство последовательно все предыдущие, получим

или в более общем виде , (7.1)
где (7.2)
Каждый элемент матрицы Т_0n содержит информацию о взаиморасположении систем координат О_nX_nY_nZ_n и О₀X₀Y₀Z₀:

Обратим внимание на важное обстоятельство: начало координат n-го звена совпадает с центром схвата. Отсюда вытекает следующее следствие:
, так как .
Таким образом, первые три элемента 4-го столбца матрицы T_0n, а именно элементы представляют собой координаты центра схвата. Это объяснятся еще и тем, что эти элементы, согласно зависимостям (6.3) – (6.6), являются координатами, которые отражают смещение (перенос) начала координат n-й системы относительно 0-й неподвижной системы координат.
В нашем же случае начало координат n-й системы и центр схвата, как отмечалось, совпадают, что и подтверждают равенства:
х = y = z = .
Матрица T_0n по структуре полностью аналогична любой матрице Т_i-1,i (6.7).
Значит, как и в матрице Т_i-1,i, 1-й элемент 2-го столбца и первые два элемента 3-го столбца будут являться направляющими косинусами осей z_n и y_n относительно осей х₀ и y₀, а именно:
; ; .
Теперь можно определить углы между соответствующими осями:
, , .
Именно эти углы применительно к звеньям i-1 и i показаны на рисунке 6.14б.
Перепишем матрицу T_0n, опустив верхние индексы

.

(7.3)

Заметим, что положение схвата в пространстве (координаты его центра А_n и ориентацию n-го звена) мы определяем шестью наддиагональными элементами матрицы T_0n. Таким образом, шесть наддиагональных элементов матрицы T_0n дают полную информацию о положении схвата в пространстве.
Следовательно, отпадает необходимость в использовании формулы (7.1), а достаточно использовать выражение (7.3) в виде

(7.4)

и воспользоваться наддиагональными элементами а₁₂, а₁₃, а₂₃ и а₁₄, а₂₄,а₃₄.
Для определения положения любого промежуточного -го звена манипулятора относительно стойки надо перемножить соответствующее число первых слева матриц перехода, то есть воспользоваться выражением

Наддиагональные элементы дадут искомое решение.
Можно также определить положение любого k-го звена относительно m-го звена (k m) по формуле
.
Заметим, что в силу закона ассоциативности исходные матрицы – сомножители, записанные в порядке возрастания номеров звеньев и пар манипулятора, можно перемножать как справа налево, так и слева направо.
Перемножение справа налево, видимо, более наглядно, т. к. последовательно координаты схвата пересчитываются в предыдущие системы координат: «счет пятясь». Так удобно умножать, когда определяется положение только схвата.
Перемножение слева направо позволяет попутно определить положения всех промежуточных звеньев. Для этого достаточно лишь обеспечить в ходе вычислительного процесса запоминание наддиагональных элементов матриц, получаемых как промежуточные при расчете.

Download 14,9 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham: