I. Kirish Respublikamizda ta'lim va tarbiya sohasidagi islohotlar bugungi dolzarb, ertangi taqdirmizni hal qiluvchi muammoga aylanmoqda

2.4. Topologik fazo va uning xossalari
Topologik fazo — biror yoʻsinda nuqtalari bilan qism toʻplamlari oʻrtasida yaqinlik tushunchasi kiritilgan fazo, topologiyanpng oʻrganish obʼyekti. Topologik fazoni taʼriflashning tabiiy yoʻli — nuqtaning atrofi tushunchasini asos qilib olish. Hozir, odatda, Topologik fazo ochiq toʻplam tushunchasi orqali aniqlanadi: ixtiyoriy X toʻplamni Topologik fazoga aylantirish uchun uning ayrim qismtoʻplamlari "ochiq" deb eʼlon qilinadi. Bunda barcha ochiq toʻplamlar oilasi (uni odatda, Topologik fazoning topologiyasi deb aytiladi) quyidagi xossalarga ega boʻlishi lozim: 1) chekli sondagi ochiq toʻplamlar kesishmasi har doim ochiq toʻplam; 2) ixtiyoriy oila tashkil etuvchi ochiq toʻplamlar birlashmasi har doim ochiq toʻplam. Bu ikki aksiomadan xususiy holda quyidagi, odatda, alohida aksiomalar deb qaraladigan 2 xossa kelib chiqadi; 3) X toʻplam (yaʼni butun fazo) ochiq; 4) boʻsh 0 toʻplam ochiq.
Hozirgi zamon matematikasida oʻrganiladigan obʼyektlarning deyarli hammasi: chiziqlar, sirtlar va ularning umumlashmalari, sonlar toʻplamlari, metrik hamda funksional fazolar va hokazolar. Topologik fazoning aksiomalar tizimi ixchamligiga qaramay koʻpdankoʻp, xususan, nihoyatda chuqur va keng xossa hamda tushunchalarni aniklash, teoremalarni isbotlash, yirik nazariyalar yaratish va rivojlantirishga imkon beradi. Mas., bir Topologik fazoning ikkinchisiga akslantirishida har bir ochiq toʻplamning proobrazi (asli) ochiq boʻlsa, u uzluksiz deb ataladi; agar ochiq toʻplamlardan iborat istalgan qoplamadan chekli qoplama ajratish mumkin boʻlsa, Topologik fazo kompakt deyiladi; kompakt Topologik fazoda aniklangan uzluksiz sonli funksiya chegaralangan boʻladi; Topologik fazoni ikkita boʻsh boʻlmagan ochiq toʻplamlarga ajratish mumkin boʻlmasa, u bogʻlangan (tutash) boʻladi va h.k.


Ta‘rif. Agar topologik fazoni ikkita bo`sh bo`lmagan ochiq to`plamlarga ajratish mumkin bo`lsa, bu topologik fazoni bog`liq topologik fazo deyiladi. Aks xolda bogliqmas topologik fazo deyiladi.
Shunday qilib, agar X topologik fazoda ikkita kesishmaydigan ochiq U va v to`plamlar mavjud bo`lib, ularning birlashmasi X ga teng bo`lsa, u xolda X bog`liqmas topologik fazo bo`ladi, yani
U,v_x, Uv=, Uv=X.
Agar berilgan to`plamni ikkita bo`sh bo`lmagan ochiq to`plamlarga ajratish bir vaqtning o`zida ikkita bo`sh bo`lmagan yopiq to`plamlarga ajratishdan iborat ekanligini eotiborga olsak, bog`liqlik Ta‘rifini yopiq to`plamlar terminidan foydalanib, boshqacha ko`rinishda xam berishimiz mumkin.
Ta‘rif. Agar fazoni ikkita bo`sh bo`lmagan yopiq to`plamlarga ajratish mumkin bo`lmasa va faqat shundagina berilgan fazo bog`liq fazo deb ataladi.
Bog`lik fazolarga misollar ko`rib o`tamiz.
Ixtiyoriy antidiskret fazo bog`liqdir.
Bittadan ortiq elementga ega bo`lgan diskret fazo bog`liqmasdir.
Xaqiqiy sonlar to`g`ri chizig`i bog`liqdir.
Anitidiskret fazoda ixtiyoriy to`plam bog`liqdir.
(0,1)R interval bog`liqdir.

Endi bog`liq to`plamlarning ayrim xossalarini ko`rib o`tamiz.

Bog`liq to`plamning bekilmasi bog`liqdir.
Hech bo`lmaganda bitta umumiy nuqtaga ega bo`lgan ikkita bog`liq to`plamlarning birlashmasi bog`liq to`plamdir.
Umumiy nuqtaga ega bo`lgan bog`liq to`plamlar oilasining birlashmasi xam bog`liq to`plamdir.
Boglik fazoga gomeomorf bo`lgan topologik fazo bog`liq fazodir.