I. Kirish II. Nazariy qism Ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama 2

2.1.Ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama
Fan va texnikaning koʻplab masalalari oddiy differensial tenglamalarni yechishga olib kelinadi. Oddiy differensial tenglama deb erkli oʻzgaruvchi (argument), izlanayotgan funksiya va uning bir qator hosilalarini oʻz ichiga olgan tenglamaga aytiladi. Oddiy differensial tenglama umumiy holda quyidagicha yoziladi:
F(x, y, y, y, …, ) = 0, bu yerda x – erkli oʻzgaruvchi; – izlanayotgan funksiyaning i-tartibli hosilasi, = – tenglamaning tartibi.
n-tartibli oddiy differensial tenglamaning umumiy yechimi n ta c₁, c₂, .., c_n oʻzgarmaslarni oʻz ichiga oladi, yaʼni uning umumiy yechimi quyidagicha yoziladi: y = (x, c₁, c₂, .., c_n). Oddiy differensial tenglamaning yagona yechimini topish uchun n ta qoʻshimcha shartlar kiritish lozim boʻladi. Agar bu qoʻshimcha shartlr bitta nuqtada berilsa, u holda bunday masala Koshi masalasi deb ataladi. Koshi masalasining qoʻshimcha shartlari boshlangʻich shartlar deb ataladi. Agar qoʻshimcha shartlar bittadan ortiq nuqtalarda berilsa, yaʼni erkli oʻzgaruvchining har xil qiymatlarida berilsa, u holda bunday masala chegaraviy masala deb ataladi. Bunday masalaning qoʻshimcha shartlari chegaraviy shartlar deb ataladi. Xususan, n = 1 boʻlganda gap faqat Koshi masalasi haqida ketadi. Koshi masalasining qoʻyilishiga misollar keltiraylik:
1) y = x³y² , y(1) = 2;
2) y = y + xy³ , y(1) = 1 , y(1) = 0.
Chegaraviy masalasining qoʻyilishiga misollar keltiraylik:
1) y + 2y – xy , y(0) = 1 , y(1) = 0;
2) y = x + xy – y , y(1) = 0 , y(1) = 0 , y(3) = 2 .
Bunday masalalarni analitik usullar bilan faqatgina maxsus turdagi tenglamalar uchungina yechish mumkin. Qolgan hollarda biror sonli usulga murojaat qilishga toʻgʻri keladi. Quyida ana shunday bir qadamli sonli usullar bilan birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarni yechishni qarab chiqamiz.
Bu k nuqtali masala deyiladi. Agar k = 1, x, = a boiganda, Koshi masalasi kelib chiqadi. Agar k - 2 , x, = a , x2 =b bo‘lsa, bunday masala chegaraviy masala deyiladi. Va nihoyat qaralyatgan k ta nuqtalardan m tasi ( 2 < m < k ) turli b oisa, u holda (1), (2) m nuqtali (yoki ko ‘p nuqtali) masala deyiladi. Chegaraviy yoki ko‘p nuqtali (1), (2) masalaning yechimi mavjudligi hamda yechimning yagonaligi isbotlangan, deb faraz qilamiz. Agar differensial tenglama va chegaraviy shartlar chiziqli boisa, ( I), (2) masala chiziqli chegaraviy (k = 2) yoki ko‘p nuqtali chiziqli (A > 2) masala deyiladi. Differensial tenglama hamda chegaraviy shartlaming kamida bittasi nochiziqli b o ‘lsa, (1), (2) masala nochiziqli chegaraviy (& = 2) yoki ko‘p nuqtali nochiziqli (k > 2 ) masala deyiladi. Chiziqli chegaraviy yoki ko‘p nuqtali masalada differensial tenglama va chegaraviy shartlar birjinsli bo‘lsa, u holda (1), (2) biijinsli chegaraviy yoki k o ‘p nuqtali masala deyiladi. (1) yoki (2) ning birontasi birjinsli bo‘lmasa, (1), (2) masala birjinsli bo‘lmagan masala deyiladi. Bir jinsli masala trivial (y(x) = 0) yechimga ega. Lekin uning trivial bo‘lmagan yechimlarini topish ham ko‘p hollarda katta ahamiyatga ega. Buning uchun (l)ga yoki (2)ga biron parametr kiritib, shu parametrga bog‘liq bo‘lgan notrivial yechim topiladi. Parametming bu qiymatlari masalaning xos sonlaridir. Ularga mos keladigan yechimlar masalaning xos funksiyalari deyiladi.

Faraz qilaylik, [a,b] oraliqda

y"(x) + p(x) y'(x) + q(x) y(x)= f (x) (1)
differensial tenglama berilgan bo‘lib, uning
₀ y ( a ) + ₁ y' (a) = A , |a₀| + |a₁| 0, (2)
₀ y ( b ) + ₁ y' (b ) = B , | ₀ | + | ₁| 0
chegaraviy shartlami qanoatlantiradigan yechimini topish masalasini ko‘ramiz. Yechimni
y(x) = cu(x)+z{x) (3)
ko'rinishda qidiramiz, bu yerda c - konstanta, u(x) esa (1) ga mos keluvchi
u"(x) + p(x)u'(x) + q(x)u(x) = 0 (4)
bir jinsli tenglamaning noldan farqli yechimi, z(x)
z”(x) + p (x )z'(x)+ q( x )z (x)= f ( x ) (5)
tenglamaning qandaydir yechimi. (3) bilan aniqlangan y(x) = cu(x)+z(x) yechim ixtiyoriy c da (1) ni qanoatlantirishiga ishonch hosil qilish qiyin emas. Ixtiyoriy c uchun (2) ning birinchisi o ‘rinli boiishini talab etamiz, u holda
c ₀ u(a) + ₀ z(a)+ c ₁u'(a) + a₁ z'(a)=A
bo‘lib, undan
c [ ₀ u(a) + ₁ u'(a)] + ₀ z(a) + ₁ z'(a)=A (6)
hosil bo‘ladi. Bu tenglik ixtiyoriy c larda o ‘rinli bo’lishi uchun quyidagi tengliklar bajarilishi kerak:


₀ u(a) + ₁ u'(a) = 0, (7)
₀ z(a) + ₁ z'(a) = A
Agar ixtiyoriy c 0 uchun
u(a) = ₁ c, u'(a) = - ₀ c (8)
deb olsak, unda (7) ning birinchisi o‘rinli bo’ladi, uning ikkinchisining o‘rinli bolishligini ta’minlash uchun ₀ bo’lganda
z(a) = , z'(a) = 0 (9)
va ₁ 0 bo’lganda
z(a) = 0, z'(a) = (10)
deb olish mumkin.
Shunday qilib, u(x) (4) birjinsli tenglamaning (8) shartlarni qanoatlantiradigan Koshi masalasining yechimi bo’lib , z(x) esa (9) yoki (10) shartlarni qanoatlantiradigan (5) tenglama uchun Koshi masalasining yechimidir. Shu bilan birga y(x) = cu(x)+z(x) funksiya (2) chegaraviy shartni ixtiyoriy c uchun x = a nuqtada qanoatlantiradi. Ikkinchi chegaraviy shartni y(x) = cu(x )+z(x) funksiya qanoatlantirsin desak, undan c ning qiymati kelib chiqadi, ya’ni
[ ₀ u(b) + ₁ u'b)]c+ ₀ z(b) + ₁ z'(b) =B
bundan