I kirish i-bob. Chegirmalar sistemasi 1 Keltirilgan chegirmalar sistemasi

2.3 Chegirmalar sinflarini xalqasi. Eyler va Firma teoremalari

Barcha butun sonlarni biror musbat m>1 butun songa bulishdan 0,1,2,..., (m-1) koldiklar xosil buladi. Xar bir koldikka sonlarning biror sinfi mos keladi.

1-TAXRIF m ga buligandi bir xil koldik beradigan butun sonlar tuplami m modulp bUyicha chegirmlaar sinfi deyiladi.

m modulp bUyicha chegirmalar sinfini

(1)

kurinishda belgilaymiz.

Bo’linma va koldikni yagonaligi xakidagi teoremaga asosan chegirmalarning m modulp bUyicha xar xil sinflari umumiy elementlarga ega bulmaydi. Demak, butun sonlar xalkasi uzaro kesishmaydigan sinflarga yoyiladi.

Xar kanday butun sonni m ga bulganda 0,1,2,... (m-1) koldiklar kolganligi sababli (1) ni kuyidagicha yozish mumkin

(1')

Bu xolda

Masalan. mq10 bulganda cinf

{..., -27,-17,-7,3,13,23,...} dan iborat buladi.

Ikkita butun son m modulp bUyicha takkoslanuvchi bulishi uchun, ular shu modulp bUyicha bitta sinfga karashli bulishi zarur va etarli ekanligi kelib chikadi.

2-TAXRIF Chegirmalar sinfining ixtiyoriy elementi chegirma deyiladi.

3-TAXRIF m modul bo’icha tuzilgan xar bir chegirmalar sinfidan ixtiyoriy ravishda bittadan element olib tuzilgan elementlar tuplami m modulp bUyicha chegirmalarning tula sistemasi deyiladi.

Masalan. mq6 modulp bUyicha

sinflar xosil buladi bulardan ixtiyoriy ravishda olib tuzilgan 12,7,14,-27,-34,5 sonlar sistemasi 6 modulp bUyicha chegirmalaraning tula sistemasi buladi.

Chegirmalarning manfiymas eng kichik tula sistemasi uchun 0,1,2,3,4,... (m-1)sistema olinadi.

Baozi xollarda m modulp bUyicha absolyut kiymati bUyicha eng kichik chegirmalar sinfini olishga tugri keldi ular.

Agar m - juft bulsa, m-tok bulsa, kurinishdagi sistemani olinadi.

Masalan. mq8 bulsa -3,-2,-1, 0,1,2,3,4 mq7 bulsa,

-3,-2,-1,0,1,2,3 lar absolyut kiymati bUyicha eng kichik chegirmalar sinfidan iborat.

Yukoridagi muloxazalardan kuyidagi xulosa kelib chikadi.

Berilgan sonlar sistemasi biror m modulp bUyicha chegirmalarning tula sistemasi bulishi uchun kuyidagi ikki shartni kanoatlantirishi kerak.

1. Ular m modulp bUyicha xar xil sinflarining elementlari bulishi kerak.

2. Ularning soni m ga teng bulishi kerak.

1-TEOREMA. Agar (a,m)q1 va b ixtiyoriy butun son bulib, x₁, x₂, ..., x_m (2) m modulp bUyicha chegirmlaarning tula sistemasini tashkil etsa.

ax₁Qb, ax₂Qb,..., ax_m Qb (3)

xam chegirmalarning tula sistemasini tashkil etadi.

Isbot. (3) yukoridagi xulosani 2) shartini kanoatlantiradi. (3) sonlarni m modulp bUyicha xar xil sinflarga karashli ekanligini kursataylik faraz kilaylik

ax_iQbqax_jQb (mod m) ij bundan ax_i  ax_j (mod m) (m,a)q1 bulgani uchun oxirgi takkoslamadan x_i  x_j (mod m) (2) sistema m modulp bUyicha chegirmalarning tula sistemasi bulgani uchun oxirgi takkoslama uringa ega emas, faraz notugri teorema tugri (1) yoki (1') chegirmalar sinflari tuplamini Z/m orkali belgilaylik.

Bu tuplamda kushish va kupaytirish amallarini kuyidagicha kritamiz