I гильбертово пространство



Download 77,01 Kb.
bet1/5
Sana06.03.2022
Hajmi77,01 Kb.
#483644
  1   2   3   4   5
Bog'liq
К.Ректорис14-24.



Часть I
Гильбертово пространство
Глава 2
Скалярное произведение функций.
Норма, метрика
Сначала несколько слов о применяемых обозначениях.
Символом G будем всюду обозначать Л/-мерную область, т. е. открытое связное множество евклидова пространства EN. Мы будем рассматривать только ограниченные области с так называ­емой липшицевой границей. Определение этого понятия достаточно сложно и на первых порах вызвало бы у читателя излишние трудности. Поэтому оно отложено до гл. 28. Здесь мы отметим только, что это определение обладает достаточной общностью, чтобы охватывать области, чаще всего встречающиеся в инженер­ных приложениях, по крайней мере когда речь идет о решении краевых задач для дифференциальных уравнений эллиптического типа. Например, к этому классу принадлежит плоская область с гладкой или кусочно-гладкой границей, не имеющей точек возвра­та; в трехмерном пространстве—это области с гладкой или ку­сочно-гладкой границей, не имеющей сингулярностей, соответст­вующих в некотором смысле точкам возврата плоских кривых (ребер возврата и т. п.). Примерами плоских и пространственных областей (при N = 2, N = 3) с липшицевой границей служат круги, кольца, квадраты, треугольники, шары, кубы и т.д. Для N = 1 такой областью будет интервал. Всякий раз, когда рассматрива­ется более чем одна область, будем использовать для их различе­ния нижние индексы: Glt G2 и т. д.
Границу области G обозначим Г (или Ги Г2...—для областей Gj, G2. Замыкание области G в EN, т. е. множество G + Г, обозначим G. Вместо «замыкание области в EN» будем просто говорить «замкнутая область».
Координаты точки * из EN обозначаются через xlt ... , xN. Тогда вместо^ ... ^и (xt ... xN)dxl ... dxN пишем ^ и (x)dx.
а а
ь
Разумеется, при N= 1 записываем J u(x)dx. Вместо хг, х2 или
а
xv хг, xs на плоскости или в трехмерном пространстве, как обыч­но, используем обозначения х, у или у, г.
Перейдем к исследованию функций, заданных на выбранной области G, в том числе к определению скалярного произведения двух функций. Всюду в книге (если не будет явно оговорено про­тивное) будем считать функции вещественными; все постоянные, которые будут встречаться в тексте, главным образом в опреде­лениях, предполагаются также вещественными.
Определение 2.1. Множество М, элементы которого являются функциями 1), заданными на некотором определенном множестве S, называется линеалом, если вместе с функциями ы, (х), и2 (х) из М функция
а, и, (х) + а2 и2 (х), (2.1)
где аи а2—произвольные вещественные постоянные, также принад­лежит М. Здесь сумма двух функций и произведение функции на число понимаются в обычном смысле, известном из классичес­кого анализа.
В частности, если иЛ£М, то (что вытекает из (2.1)
при а2 = 0), и если их €М, и2£М, то их сумма также принадле­жит М (что вытекает из (2.1) при с, = 1, а2= 1).
Пример 2.1. Обозначим через L множество всех функций, не­прерывных в замкнутой области G с определенными обычным об­разом суммой двух функций и произведением функции на чигло. Тогда L—линеал, ибо хорошо известно, что если м, (х) и и2(х) — две непрерывные в G функции, принадлежащие L, то функция й,и, (х)-\-а2и2(х) также непрерывна в G и, следовательно, принад­лежит L.
Из определения 2.1 следует (читатель легко может проверить законность этого утверждения), что если М—линеал, то вместе с п функциями и^х), ... , ип) их произвольная линейная ком­бинация Cj»! (х) -f ... -f апип(х) также принадлежит М.
Пример 2.2. Пусть L, определенное в примере 2.1, является множеством всех функций и(х), таких что |и(х)|^7 для всех х £G. Обозначим это новое множество L. Множество L—не лине­ал, так как не верно, что для каждого u£L и для каждого числа а выполнено au(x)^L. Например, функция и(х) = 4 в G (постоян­ная в G функция) принадлежит L, так как она непрерывна в G и выполняется условие | и (х) | ^ 7. Однако функция 2и (х) не принадлежит L, так как 2и (х) = 8 и, следовательно, 12 и (х) | > 7.
Рассмотрим теперь линеал L (пример 2.1). Для двух произ­вольных функций u^L, v g L определим скалярное произведение.
х) Здесь для наглядности рассматривается частный случай, в определении линеала элементы заданного множества не обязательно являютси функциими.

Определение 2.2. Под скалярным произведением функций и и v из L понимаем интеграл, обозначаемый (и, v):
(и, v)=^ и (я) v (я) dx. (2.2)
в
Следовательно, скалярное произведение двух функций из L есть вещественное число, определяемое значением интеграла (2.2).
Пример 2.3. Пусть G представляет собой квадрат 0^л:<1, и пусть и (х, у) = х2 + у2, v(x,y)?s= 2. Тогда 1 1
(и, v) = J J 2 2)- 2 dxdy = 4/3.
О О
Свойства скалярного произведения, которые будут рассмотрены в теореме 2.1, непосредственно вытекают из некоторых известных свойств интеграла.
Теорема 2.1. Для скалярного произведения, введенного опреде­лением 2.2, имеем (и, v, ult и2—произвольные функции из L, аг, а2—произвольные вещественные числа):

F i/ г 6

Соотношение (2.3) означает симметрию скалярного произведе­ния, (2.4)—его аддитивность и однородность. Соотношения (2.5) и (2.6) утверждают, что скалярное произведение и(х) на себя всегда неотрицательно и равно нулю тогда и только тогда, когда и (х) = 0.
Доказательство теоремы 2.1 следующее. Свойство (2.3) следует из равенства
^ и (x)v (я) dx = J v (х) и (х) dx, а о

  1. —из равенства

J 1и1 (х) + а2и2 (*)] v (я) dx — ау $ иt (х) v(x)dx + ai^ui (я) v(x)dx. в в в
Далее имеем

Download 77,01 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4   5




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish