I гильбертово пространство



Download 77,01 Kb.
bet2/5
Sana06.03.2022
Hajmi77,01 Kb.
#483644
1   2   3   4   5
Bog'liq
К.Ректорис14-24.

(и, и) = ^ и2 (х) dx ^ 0. в
Ясно, что если (и, и) = 0, то и (х) s0. С другой стороны, если
то, как известно из интегрального исчисления, и(х)^0, так как функция непрерывна в 5 по предположению I).
Заметим, что из (2.4) и (2.3) немедленно следует, что
(и, а,и, + a2v2) = а, (и, vt) + а2 (и, v2), (2.7)
где и, vlt v2 являются функциями из L, а а2—вещественные постоянные. Тогда из (2.4) и (2.7) можно легко видеть, что
(OjUj + а2и2, asus + a4u4) = a,ag (ult u3)+
+ ^2^3 («2» W3) + ^1^-4 («1» «4) "4” ^-2^4 («2» ^4)*
(To есть операция взятия скалярного произведения функций фор­мально совпадает с умножением полиномов.) В частности, для произвольных функций и, v из L и для произвольных веществен­ных постоянных а и b имеем
(аи, bv) = ab(u, v). (2.9)
Скалярное произведение и его свойства позволяют ввести сле­дующее полезное понятие—норму функции.
Определение 2.3. Под нормой функции и из линеала L пони­маем неотрицательное число
II и II = V(и, и) = 5 и2 (х) dx. (2.10)
Например, для нормы функции и = sin лх sin пу, определенной в квадрате O^x^l, 0^г/^1, получим
II и 1 =*1/" ^ ^ sin2 лх sin2 лу dx dy =
о о
= '|/ sin2xttdx- sin2 nydy = = у-
о о
Теорема 2.2. Норма (2.10) обладает следующими свойствами (и, v — произвольные функции из L, а—произвольная веществен­ная постоянная):
II «II > 0, (2.11)
|и|] = 0ои(х) = 0 в G, (2.12)
| аи I = | а | • || и ||, | (и, о) |< I u I-И, (2.13), (2.14) IIw + и||^||и||-Н|иЦ (неравенство треугольника), (2.15)
III “II—IN КII ^II- (2-16)
!) Читатель, конечно, заметил, что предположение о непрерывности функций и и v в G ие использовалось в доказательстве, кроме этой последней части. Было достаточно, чтобы соответствующие интегралы были определены. Поэтому в следующей главе не воздшкает трудностей при перенесении основных свойств скалярного произведения на более общий класс функций.
Доказательство *). Свойства (2.11), (2.12) следуют непосредст­венно из определения нормы и свойств скалярного произведения

  1. , (2.6). Далее из определения нормы и из (2.9) имеем ||аи||2 = —(аи,аи) = а2(и,и), откуда вытекает (2.13).

Доказательство неравенства (2.14). Пусть и £ L, v g L—две про­извольные функции. Для любого вещественного числа X, согласно

  1. , имеем (u-\-Xv, u + Xv)^ 0. Применяя (2.8), получим (и, и) 4- X (и, и) 4- к (и, v) 4- X2 (v, v) ^ 0. Следовательно, имеем

(и, и) 4- 2 (и, v) X -f (v, v) X2 ^ 0, (2.17)
так как (u,v) = (v,u). Функции u,v произвольны, хотя они все же являются фиксированными функциями из L. Следовательно, (и, и), (и, и) и (и, и) — фиксированные числа. Выражение в левой части неравенства (2.17), содержащее квадрат X, неотрица­тельно для всех вещественных X. Выполнение неравенства возмож­но только в том случае, если дискриминант выражения неполо­жителен, т. е. если (и, vf(u,u)(v,v)^ 0, или если (и, и)2 < (и, и)х X(v, v).
Неравенство (2.14) тогда непосредственно следует из послед­него неравенства, если учесть, что (и, м) = ||и||2 и (v, ») = [|»||2 в соответствии с определением нормы.
Доказательство неравенства (2.15). Имеем
| и 4- v ||2 = + v, и 4- v) = (и, и) 4- 2 (и, v) + (v, v) =
= l«||* + 2(«,o)4-|i>p. (2.18)


Из (2.14) следует, что (и, иХ||и|| большим (или равным) числом 2||и\
Заменяя 2 (u,v) в (2.18) получим


II и -f a IP < II и II2 + 2II и II • II и II + IIО ||2 = (II и II -f II о II)2,
откуда немедленно следует (2.15).
Чтобы доказать неравенство (2.16), рассмотрим вместе с элемен­тами и, v также элементы иv, v. Из (2.15) имеем |(м — и) 4- -f v I < || иv || -f I v ||, или || и I ^ I иv 14-1| v ||, откуда получим || и || —

  • II VII ^ И и — и||.

Аналогично, рассматривая элементы vи, и, получим |и|| —

  • N<11“ —«11-

Неравенство (2.16) прямо следует из двух предыдущих нера­венств.
Пример 2.4. Рассмотрим функции ucosx, v = x на интервале [О, я]. Тогда

  1. и 11= J cos2 х dx =

О
И = ]/ Ix'dx^y , И+И = ]/1+1^ т
4.47,
F i/ г
(u, и) = 3 xcosxdx =2; ||м + у||= у ^ (cos л: + xf dx
=
2 = 1 (и, и)|<||и|.|и|| = я2
/Кб « 4.04, 2.82; ж 4.47 в соответствии с (2.14) и (2.15).
/ т+у-4 ~2-82-
О
]и +
чевидно, что
+ v к I и |j +!! v |
З
Первая координата. Рис. 1.
амечание 2.1. Понятия скалярного произведения и нормы функции аналогичны подобным понятиям из элементарной вектор­ной алгебры. Свойства нормы аналогичны хорошо известным свойствам длины вектора: рассмотрим векторы и и v на плоскости с точками приложения в начале координат (рис. 1).
Их скалярное произведение опреде­ляется, как известно, соотношением u-v = uucos(p, где и, v—длины векто­ров u, v соответственно, а ф — угол между двумя векторами. Соотношения, аналогичные соотношениям (2.11) —
(2.16) для нормы функции, с очевидностью справедливы и для длины вектора:
а) и^О, причем м = 0 тогда и только тогда, когда и—нулевой вектор (ср. с (2.11) и (2.12));
б
умноженной на
) длина вектора аи равна длине вектора и,
\а\ (ср. с (2.13));
в) |u-v|^uu (ср. (2.14)), так как |coscp|s^l;
г) длина векторов u-j-v не может быть больше, чем сумма длин векторов и и v (ср. с (2.15)), что видно из рис. 1 (треуголь­ник ОАВ)\
д) разность длин двух векторов (или абсолютное значение этой разности) не может превосходить длины разности этих векторов (ср. с (2.16)), см. треугольник О АС на рис. 1.
Таким образом, видно, что и скалярное произведение, и норма функции представляют собой понятия, определенные вполне есте­ственным путем, соответствующим элементарным геометрическим представлениям, на которых они первоначально основывались.

Следующим понятием, вытекающим из элементарных геометри­ческих представлений, является расстояние между двумя функци­ями.
Определение 2.4. Под расстоянием между функциями и, v из линеала L понимается число
р(и, v) = \u—к||, (2.19)
т. е. норма разности этих двух функций.
Пример 2.5. Для расстояния между функциями и, v из приме­ра 2.4 имеем
Л
р2 (и, v) = || и— и||2 = J (cos л:—л:)2 dx = -g- -f 4, о
откуда p(u, V)— ]/"—I—^-+4 «3.98.
Основные свойства расстояния между функциями, рассматри­ваемые в следующей теореме 2.3, следуют непосредственно из опре­деления расстояния между функциями и из свойств нормы (2.11),

  1. , (2.13) и (2.15), сформулированных в теореме 2.2.

Теорема 2.3. Для произвольных функций и, v, г из L выполня­ется:
р(и, и)>0, (2.20)
р (и, v) = 0 «ф и (х) = v (х), (2.21)
р(и, о)=р(о, и), (2.22)
р(и, г)<р(и, o)+p(w, г). (2.23)
Доказательство. Свойства (2.20) и (2.21) непосредственно вы­текают из определения расстояния (2.19) и из (2.11) и (2.12). Да­лее, из определения расстояния и из соотношения (2.13) при а=—1 следует, чтор(и, к)=||м—и||, р(и, м)=||к—м||=|| — (и—к)||= = |—11-Ц м—и|| = I и—п||, откуда немедленно получается (2.22). Из (2.15) имеем:
р(и, г) = {\и—г|| = I)(u—v) + (vг)||<||и—v(f4-1|v—z||, (2.24)
что доказывает (2.23), так как сумма последних членов в (2.24) равна в соответствии с определением расстояния числу р (и, к)4-
+ Р(к. г)-
Замечание 2.2. Свойства расстояния (2.20)— (2.23) также имеют простую геометрическую интерпретацию подобно свойствам скаляр­ного произведения и нормы (см. рис. 1). Обозначая через p(u, v) расстояние между концами векторов u, v и началом координат, имеем p(u, v) = p(v, и) (см. (2.22)), так как р(и, v) определяется длиной вектора и — v или вектора V —и, что то же самое. Кроме
того, очевидно, что р (u, v) ^ 0, где р (и, v) = 0 тогда и только тогда, когда и и v совпадают (см. (2.20) и (2.21)). Неравенство p(u, z)^p(u, v) + p(v, г), геометрическое толкование которого очевидно из рис. 2, аналогично (2.23). Таким образом, геометри­ческая интерпретация хорошо помо­гает и в этом случае.
З
р(и,г)

Первая координата Рис. 2.
амечание 2.3. Определение 2.4 позволяет «измерить» с помощью

  1. расстояние между двумя функ­циями, принадлежащими L. Говррят, что формулой (2.19) задана метрика линеала, и в этом случае линеал L (или любое другое множество, в кото­ром задана метрика) называется мет­рическим пространством. В общем случае применимо

Определение 2.5. Множество М называется метрическим про­странством, если для каждой пары его элементов и, v определе­но число р(и, v), обладающее свойствами (2.20)—(2.23), называе-' мое расстоянием между элементами и, V.
Заметим, что в предыдущем определении не требовалось, что­бы элементы множества М были функциями. Как будет видно позднее, это определение часто используется при работе с метри­ческими пространствами, элементы которого имеют несколько иной характер. В определении 2.5 не предполагалось также, что М должно быть линеалом. В дальнейшем, как только мы встретимся с метрикой, определенной на множестве М, будем считать, что расстояние между любой парой его элементов удовлетворяет тре­бованиям (2.20)—(2.23).
Требования (2.20) — (2.23), которым должно удовлетворять рас­стояние р (и, v), называются аксиомами метрики. (Аналогично, соотношения (2.11) — (2.13) и (2.15), характеризующие норму, называются аксиомами нормы (см. гл. 7).) Если расстояние опре­делено с помощью нормы (2.19), то, как видно из теоремы 2.3, справедливость аксиом метрики следует из выполнения аксиом нормы.
До сих пор в линеале L метрика вводилась формулой (2.19) с помощью нормы I |, определенной в (2.10) 1). Возможно ввести расстояние в L другими способами, по-прежнему удовлетворяю­щими аксиомам метрики. Например, определим норму L формулой
II ы(/с = max J ы (лг) |. (2.25)
Хй G
х) В таких случаях говорят, что норма порождается скалярным произве­дением.
(Причина, по которой следует отличать эту норму от первоначаль­ной и обозначать ее индексом С, будет ясна из дальнейшего.) Норма \\и\\с функции u£L получается из функции \и(х)\, непре­рывной в замкнутой области G (в силу предположения непрерыв­ности и{х)), рассмотрением ее максимального значения в G. Не­трудно показать (не будем здесь останавливаться на деталях), что Ни||с удовлетворяет всем четырем аксиомам нормы, что и позво­ляет называть ее нормой.
Согласно вышеизложенному, можно определить в L расстояние формулой
рс (и, v) = || u — v\\c, (2.26)
или, как следует из (2.25),
рс (и, v) = max | и (х)v (х) |. (2.27)
А 6 G
Линеал с определенным по формуле (2.27) расстоянием называется линейным пространством С.
Пример 2.6. Для расстояния рс между функциями и(х) = cos л:, v(x) = x из примеров 2.4 и 2.5 в пространстве С(0, л) имеем рс (и, *>)= 1 + я я» 4.14. В самом деле, на интервале [0, л] функ­ция и(х) = cosx убывает, функция v(x) = x возрастает, а функция | и(х)—у (лг)) = | cos л: — л- J принимает свое максимальное значение в точке х = я, где | и (я) — v (я) | — | cos л—я| = 1+я.
Заметим, что расстояние между рассматриваемыми функциями различно в пространстве С и в пространстве с метрикой (2.19) (см. пример 2.5). Естественно, то же самое верно и для нормы. Реко­мендуем читателю проверить на примере функций и(х) = cosx, v (х) = х, что I ||с действительно удовлетворяет (2.11), (2.12), (2.13),
(2.15).
Замечание 2.4. Если функции^ и, v «близки» друг к другу во всех точках замкнутой области G, то расстояние между ними ма­ло и в пространстве С, так как если неравенство \ и(х)—у(х)|^е выполняется в G, то рс(и, у)<е согласно (2.27).
С другой стороны, если расстояние между функциями и я v мало в пространстве С, то модуль разности функций и и о мал в G, так как из соотношения рс(и, с)<е следует, что [и(х)

  • o(;t)|<8 всюду в G согласно (2.27).

Ситуация будет существенно иной в пространстве с метрикой

  1. . Если только мала разность между функциями и, v (по абсолютной величине) всюду в G, то расстояние р (и, v) также мало. В самом деле, если неравенство \и{х)—у (х) | ^ е выполне­

  2. но всюду в G, то из (2.19) имеем

р(н, у) = ||ы—£>| = 1 $[«(*)—V (х)]гdx ^ л\\г2с1х =

Download 77,01 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish