I гильбертово пространство

(и, V) = ^ и (х) v (x)dx (3.2)
G
называется скалярным произведением этих функций.
Аналогично тому, как это сделано в гл. 2, определим норму и расстояние в случае квадратично интегрируемых функций.
Определение 3.3. Нормой функции и(х), квадратично интегри­руемой в области G, называется неотрицательное число

2. 
   и || = VWT) = j/" J “² (*)^dx- (3.3)
   

Определение 3.4. Расстоянием между двумя функциями и(х), v(x), квадратично интегрируемыми в области G, называется нор­

*) Проблема равенства двух элементов данного линеала более подробно будет обсуждена позднее (см. с. 28).

I^) Как видно из доказательства, свойства нормы являются следствием свойств скалярного произведения (2.3)—(2.6). Понятие скалярного произведе­ния обобщается в следующей главе таким образом, что его основные свойства будут сохранены. Следовательно, свойства соответствующей нормы, определен­ной соотношением, аналогичным (2.10), также останутся неизменными. То же самое можно сказать и о свойствах метрики, вводимых в теореме 2.3.