I. Burchaklar

XII. Stereometriya

1. Quyidagi mulohazalarning qaysi biri noto`g`ri? (96–6–45)
A) Agar ikki to`g`ri chiziq bitta tekislikka perpendikulyar bo`lsa, bu to`g`ri chiziqlar paralleldir.
B) Agar tekislikda yotmagan to`g`ri chiziq tekislikdagi birorta to`g`ri chiziqqa parallel bo`lsa, tekislik va to`g`ri chiziq o`zaro paralleldir
C) Agar tekislikka tushirilgan og`ma tekislikda yotuvchi to`g`ri chiziqqa perpendikulyar bo`lsa, uning proyeksiyasi ham to`g`ri chiziqqa perpendikulyar bo`ladi.
D) Tekislikda yotuvchi ikki to`g`ri chiziqqa perpendikulyar bo`lgan to`g`ri chiziq tekislikka ham perpendikulyar bo`ladi.
E) Ikkita to`g`ri chiziqning har biri uchinchi to`g`ri chiziqqa parallel bo`lsa, bu to`g`ri chiziqlar paralleldir.
2. Quyidagi mulohazalarning qaysi biri noto`g`ri: (97–12–44)
A) Agar fazoda ikki to`g`ri chiziq uchinchi to`g`ri chiziqqa parallel bo`lsa, ular o`zaro paralleldir.
B) Tekislikda og`maning asosidan uning proyeksiyasiga perpendikulyar qilib o`tkazilgan to`g`ri chiziq og`maning o`ziga ham perpendikulyar bo`ladi.
C) Fazoda uchta nuqta orqali faqat bitta tekislik o`tkazish mumkin.
D) To`g`ri chiziq yoki parallel to`g`ri chiziqlar kesmalarning nisbati parallel proyeksiyalashda o`zgarmaydi (proyeksiyalanadigan kesmalar proyeksiyalash yo`nalishiga parallel emas).
E) Tekisliokdan tashqarida yotgan to`g`ri chiziq bu tekislikdagi biror to`g`ri chiziqqa parallel bo`lsa, bu to`g`ri chiziq va tekislik o`zaro paralleldir.
3. Quyidagi mulohazalarning qaysi biri noto`g`ri? (97–2–45)
A) Agar tekislik parallel tekisliklardan biriga perpendikulyar bo`lsa, u holda bu tekislik ikkinchi tekislikka ham perpendikulyar bo`ladi.
B) Tekislikda yotuvchi kesishuvchi ikki to`g`ri chiziqqa perpendikulyar bo`lgan to`g`ri chiziq tekislikka ham perpendikulyar bo`ladi.
C) Fazodagi ikki to`g`ri chiziq, uchinchi to`g`ri chiziqqa perpendikulyar bo`lsa, ular o`zaro paralleldir.
D) Agar tekislikdagi to`g`ri chiziq tekislikka tushirilgan og`maga perpendikulyar bo`lsa, bu to`g`ri chiziq og`maning proyeksiyasiga ham perpendikulyar bo`ladi.
E) Ikki parallel tekislikni uchinchi tekislik bilan kesganda, hosil bo`lgan to`g`ri chiziqlar parallel bo`ladi.
4. Quyidagi mulohazalarning qaysi biri noto`g`ri?
(97–8–45)
A) Agar bir tekislikda yotgan ikki to`g`ri chiziq, ikkinchi tekislikda yotgan ikkinchi to`g`ri chiziqqa mos ravishda parallel bo`lsa, bu tekisliklar paralleldir.
B) Agar ikki to`g`ri chiziq, uchinchi to`g`ri chiziqqa parallel bo`lsa, ular o`zaro paralleldir.
C) Tekislikda yotgan to`g`ri chiziq, og`maning proyeksiyasiga perpendikulyar bo`lsa, og`maning o`ziga ham perpendikulyar bo`ladi.
D) To`g`ri chiziq tekislikda yotgan ikki kesishuvchi to`g`ri chiziqqa perpendikulyar bo`lsa, bu to`g`ri chiziq tekislikka ham perpendikulyar bo`ladi.
E) Og`ma va uning tekislikdagi proyeksiyasi orasidagi burchaklardan eng kichigiga og`ma va tekislik orasidagi burchak deyiladi.
5. Kub uchun nechta simmetriya tekisligi mavjud?
(96–3–103)
A) 8 B) 9 C) 7 D) 10 E) 6
6. Asosi kvadrat bo`lgan to`g`ri burchakli parallelepiped uchun nechta simmetriya tekisligi mavjud? (96–12–104)
A) 9 B) 7 C) 3 D) 5 E) 4
7. Ixtiyoriy to`g`ri burchakli parallelepiped uchun nechta simmetriya tekisligi mavjud? (96–13–50)
A) 4 B) 2 C) 3 D) 5 E) 1
8. α tekislik va uni kesib o`tmaydigan AB=13 sm kesma berilgan. Agar kesmaning uchlaridan α tekislikkacha bo`lgan masofalar AA₁=5 sm, BB₁=8 sm bo`lsa, AB kesma yotuvchi to`g`ri chiziqning α tekislik bilan tashkil qilgan burchak sinusini aniqlang. (96–3–49)

9. α tekislik va uni kesib o`tmaydigan AB=11 sm kesma berilgan. Agar kesmaning uchlaridan α tekislikkacha bo`lgan masofalar AA₁=4 sm, BB₁=7 sm bo`lsa, AB kesma yotuvchi to`g`ri chiziqning α tekislik bilan tashkil qilgan burchak sinusini aniqlang. (96–12–51)

10. α tekislik va uni kesib o`tmaydigan AB=9 sm kesma berilgan. Agar kesmaning uchlaridan α tekislikkacha bo`lgan masofalar AA₁=7 sm, BB₁=11 sm bo`lsa, AB kesma yotuvchi to`g`ri chiziqning α tekislik bilan tashkil qilgan burchak sinusini aniqlang. (96–11–51)

11. AB kesma α tekislikni O nuqtada kesib o`tadi. Agar AO:OB=3:2 bo`lib, B nuqtadan α tekislikkacha bo`lgan masofa 89 ga teng bo`lsa, A nuqtadan tekislikkacha bo`lgan masofani toping. (00–7–51)
A) 11 B) 12 C) 10 D) 9 E) 13
12. AB kesma α tekislikni kesib o`tadi. Uning uchlari tekislikdan 2 va 4 ga teng masofada joylashgan. Kesmaning tekislikdagi proyeksiyasi 6 ga teng. Kesma va tekislik orasidagi burchakni toping. (99–2–51)
A)45⁰ B)60⁰ C) D)30⁰ E)
13. Tekislikka o`tkazilgan perpendikulyar va og`ma orasidagi burchak 30⁰, perpendikulyarning uzunligi 10 ga teng. Og`maning uzunligini toping. (96–1–49)

14. Tekislikka o`tkazilgan perpendikulyar va og`ma orasidagi burchak 60⁰, og`maning uzunligi ga teng. Perpendikulyarning uzunligini toping.
(96–9–102)

15. Tekislikka o`tkazilgan perpendikulyar va og`ma orasidagi burchak 60⁰, perpendikulyarning uzunligi 20 ga teng. Og`maning uzunligini toping.
(96–10–51)

16. Bitta nuqtadan tekislikka og`ma va perpendikulyar o`tkazilgan. Og`maning uzunligi 5, perpendikulyarniki 4 sm. Og`maning tekislikdagi proyeksiyasi necha sm? (96–11–39)
A) 2 B) 3 C) 2,5 D) 1 E) 3,5
17. Bitta nuqtadan tekislikka ikkita og`ma o`tkazilgan. Og`malarning uzunliklari 2:1 kabi nisbatda, ularning proyeksiyalari 7 va 1 ga teng. Berilgan nuqtadan tekislikkacha bo`lgan masofani toping. (96–7–49)

18. Bitta nuqtadan tekislikka og`ma va perpendikulyar o`tkazilgan. Og`maning uzunligi 10, perpendikulyarniki 6 sm. Og`maning tekislikdagi proyeksiyasi necha sm? (96–3–38)
A) 4 B) 2 C) 8 D) 5 E) 3
19. Bitta nuqtadan tekislikka og`ma va perpendikulyar o`tkazilgan. Og`maning uzunligi 5, perpendikulyarniki 3 sm. Og`maning tekislikdagi proyeksiyasi necha sm? (96–12–40)
A) 2 B) C) 1,5 D) 4 E) 2,5
20. Bir nuqtadan tekislikka uzunliklari 23va 33 bo`lgan ikkita og`ma tushirilgan. Agar og`malar proyeksiyalarining nisbati 2:3 kabi bo`lsa, berilgan nuqtadan tekislikkacha bo`lgan masofani toping.
(97–3–49)

21. Nuqtadan tekislikka ikkita og`ma o`tkazilgan. Agar og`malar 1:2 ga teng nisbatda bo`lib, ularning proyeksiyalari 1 va 7 ga teng bo`lsa, og`malarning uzunliklarini toping. (97–5–52)
A) 2;4 B) 3;6 C) 4;8 D) 5;10 E) 1;2
22. Bitta nuqtadan tekislikka ikkita og`ma o`tkazilgan. Agar og`malarning uzunliklarning nisbati 5:6 ga, ularning proyeksiyalari 4 va ga teng bo`lsa, berilgan nuqtadan tekislikkacha bo`lgan masofani toping. (97–7–49)

23. Nuqtadan tekislikka ikkita og`ma o`tkazilgan. Og`malar 3:5 ga teng nisbatda bo`lib, ularning proyeksiyalari va 17 ga teng. Og`malarning uzunliklarini toping. (97–9–52)
A) 2;10 B) 3;5 C) 3;15 D) 5;25 E) 12;20
24. Berilgan nuqtadan tekislikka ikkita og`ma va perpendikulyar tushirildi. Og`malarning proyeksiyalari 27 va 15 ga teng hamda ulardan biri ikkinchisidan 6 ga uzun bo`lsa, perpendikulyarning uzunligini toping. (98–7–49)
A) 30 B) 39 C) 45 D) 33 E) 36
25. Bir nuqtadan tekislikka uzunliklari 4 va 8 bo`lgan ikkita og`ma tushirilgan. Og`malar proyeksiyalarining nisbati 1:7 ga teng. Berilgan nuqtadan tekislikkacha bo`lgan masofani toping. (97–10–49)

26. Nuqtadan tekislikka uzunliklari 10 va 15 sm bo`lgan og`malar tushirilgan. Birinchi og`maning tekislikdagi proyeksiyasi 7 sm bo`lsa, ikkinchi og`maning proyeksiyasi necha sm? (98–10–95)

27. Tekislikdan a masofada joylashgan nuqtadan tekislikka ikkita og`ma tushirildi. Og`malarning har biri bilan tekislik orasidagi burchak 45⁰ ga teng. Agar og`malar orasidagi burchak 60<sup>0</sup> ga teng bo`lsa, og`malarning uchlari orasidagi masofa qancha?
(98–1–50)

28. Tekislikdan b masofada joylashgan nuqtadan tekislikka ikkita og`ma tushirilgan. Bu og`malar tekislik bilan 30⁰ va 45⁰ li, o`zaro to`g`ri burchak tashkil qiladi. Og`malarning oxirlari orasidagi masofani toping. (98–8–50)

29. Berilgan nuqtadan tekislikka uzunliklarining ayirmasi 6 ga teng bo`lgan ikkita og`ma tushirildi. Og`malarning tekislikdagi proyeksiyalari 27 va 15 ga teng. Berilgan nuqtadan tekislikkacha bo`lgan masofani toping. (99–4–51)
A) 32 B) 36 C) 44 D) E) 39
30. AB kesmaning A oxiridan tekislik o`tkazilgan. Shu kesmaning B oxiridan va C nuqtasidan tekislikni B<sub>1</sub> va C<sub>1</sub> nuqtalarda kesuvchi parallel to`g`ri chiziqlar o`tkazilgan. Agar AB=8 va CC₁:AC=3:4 bo`lsa, BB₁ kesmaning uzunligini toping. (97–9–51)
A) 3 B) 5 C) 4 D) 6 E) 8
31. AB kesmaning A oxiridan tekislik o`tkazilgan. Shu kesmaning B oxiridan va C nuqtasidan tekislikni B<sub>1</sub> va C<sub>1</sub> nuqtalarda kesuvchi parallel to`g`ri chiziqlar o`tkazilgan. Agar CC₁=15 va AC:BC=2:3 bo`lsa, BB₁ kesmaning uzunligini toping. (97–5–51)
A) 10 B) 25,5 C) 37,5 D) 30,5 E) 30
32. ABC muntazam uchburchakning AC tomoni orqali α tekislik o`tkazilgan. Uchburchakning BD balandligi tekislik bilan 30<sup>0</sup> li burchak tashkil etadi. AB to`g`ri chiziq bilan tekislik orasidagi burchak topilsin. (97–6–66)

33. Muntazam ABC uchburchakning AC tomoni orqali BD medianasi tekislik bilan 60⁰ li burchak tashkil etadi. AB to`g`ri chiziq bilan tekislik orasidagi burchak topilsin. (97–1–64)

34. To`g`ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi 12 ga teng. Bu uchburchakning uchlaridan 10 ga teng masofada uchburchak tekisligidan tashqarida nuqta berilgan. Shu nuqtadan uchburchak tekisligigacha bo`lgan masofani toping.
(98–12–49)
A) 8 B) 6 C) 10 D) E) 12
35. ABC uchburchakning to`g`ri burchakli uchi C dan uchburchakka perpendikulyar “a” to`g`ri chiziq o`tkazilgan. AC=15, BC=20. a va AB to`g`ri chiziqlar orasidagi masofa topilsin.
(97–6–67)
A) 10 B) 12 C) 16 D) 20 E) 12,5
36. Teng yonli ABC uchburchakning (AB=AC) A uchidan uchburchak tekisligiga uzunligi 16 ga teng bo`lgan AD perpendikulyar o`tkazildi. D nuqtadan BC tomongacha bo`lgan masofa ga teng. ABC uchburchakning BC tomoniga o`tkazilgan balandligi qanchaga teng? (00–9–9)
A) 6 B) 8 C) 12 D) 10 E) 14
37. Uchburchakning tomonlari 10, 17 va 21 ga teng. Uchburchakning katta burchagi uchidan uchburchak tekisligiga perpendikulyar o`tkazilgan bo`lib, uning uzunligi 15 ga teng. Bu perpendikulyarning tekislik bilan kesishmagan uchidan uchburchakning katta tomonigacha bo`lgan masofani aniqlang. (00–5–60)
A) 17 B) 16 C) 18 D) 20 E) 19
38. ABC uchburchakning to`g`ri burchakli B uchidan uchburchak tekisligiga perpendikulyar “b” o`tkazilgan. AB=3, BC=4. “b” va AC to`g`ri chiziqlar orasidagi m,asofani toping. (97–1–65)
A) 1 B) 1,2 C) 1,5 D) 2,4 E) 2,5
39. Muntazam ABC uchburchakning C uchi muntazam ABD uchburchakning markaziga proyeksiyalanadi. ABC va ABD uchburchaklar orasidagi burchakni toping. (00–6–48)
A)60⁰ B) C)45⁰ D)30⁰ E)
40. To`g`ri to`rtburchakning yuzi 72 ga teng. Uning tekislikdagi ortogonal proyeksiyasi kvadratdan iborat. Tekislik va to`g`ri to`rtburchak yotgan tekislik orasidagi burchak 60⁰ ga teng. Kvadratning perimetrini toping. (00–9–8)
A) 30 B) 26 C) 20 D) 28 E) 24
41. α va β tekisliklar orasidagi burchak 60⁰ ga teng. α tekislikdagi A nuqtadan tekisliklarning kesishish chizig`igacha bo`lgan masofa 3 ga teng. A nuqtadan β tekislikkacha bo`lgan masofani toping. (99–7–41)
A) 2 B) 1 C) 3 D) E) 2,5
42. α va β tekisliklar 450⁰ li burchak ostida kesishadi. α tekislikdagi A nuqtadan β tekislikkacha bo`lgan masofa 2 ga teng. A nuqtadan tekisliklarning kesishish chizig`igacha bo`lgan masofani toping. (98–5–42)

43. Uzunliklari 10 va 15 sm bo`lgan ikki kesmaning uchlari o`zaro parallel tekisliklarda yotadi. Birinchi kesmaning tekislikdagi proyeksiyasi sm bo`lsa, ikkinchi kesmaning proyeksiyasi necha sm bo`ladi? (98–3–48)
A) 12 B) 11 C) 10 D) 13 E) 9
44. Ikki parallel tekislik orasiga olingan kesmalarning nisbati 2:3 kabi bo`lib, tekisliklar bilan nisbati 2 ga teng bo`lgan burchaklar tashkil etadi. Shu burchaklardan kattasining kosinusini toping.
(00–10–51)